Sao không ai trả lời vậy, mình trả lời vui thôi không chắc đúng nha

\(B=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+xy}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y+2xy}\ge\frac{4x^2y^2}{x+y+2}=\frac{4}{x+y+2}\)

Vì x,y nguyên dương và xy=1 nên\(x,y\le1\Rightarrow B\ge\frac{4}{2+2}=1\)

Sao có 2 bạn tl mik mà nó ko hiện ra vậy

\(B=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{3}{3xy\left(x+y\right)}\)

\(B\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\left(x+y\right)^3}=4+2\sqrt{3}\)

\(B_{min}=4+2\sqrt{3}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3+\sqrt{3}-\sqrt[4]{12}}{6+2\sqrt{3}};\dfrac{3+\sqrt{3}+\sqrt[4]{12}}{6+2\sqrt{3}}\right)\) và hoán vị

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz:

$B=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}$

$=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}$

$\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}=(1+\sqrt{3})^2$

Vậy $B_{\min}=(1+\sqrt{3})^2$

Dấu "=" xảy ra khi $xy=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Yêu cầu chứng minh  \(B\ge1\)  là đáp án đúng cho bài toán này. 

Không giải!

Dễ thấy đề sai nếu cho x = y = 1 .

Cho  \(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x},\)  trong đó,  \(x,y\)  là các số dương thỏa mãn điều kiện  \(xy=1\)

Chứng minh:  \(B\ge1\)

\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\)

Trước hết, ta thực hiện công đoạn áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho bốn số dương có dạng sau:

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^3}{\left(1+y\right)}.\frac{\left(1+y\right)}{4}.\frac{x}{2}.\frac{1}{2}}=4\sqrt[4]{\frac{x^4}{16}}=2x\)

Khi đó, ta xây dựng được một bất đẳng thức cho riêng  phân số \(\frac{x^3}{1+y}\)  bằng cách suy ra từ kết quả vừa chứng minh ở trên:

\(\frac{x^3}{1+y}\ge\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}\)  

Đổi biến theo vòng hoán vị  \(y\rightarrow x,\)  từ đây, ta thiết lập được đánh giá tương tự như sau, điển hình:

\(\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{3y}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+x}{4}\)

Kết hợp hai bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên, ta có đánh giá sau:

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}+\frac{3y}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1-x}{4}\)

Biến đổi vế phải của bất đẳng thức trên, ta suy ra được:

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{5\left(x+y\right)-6}{4}\)

Hơn nữa, theo một kết quả quen thuộc, ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)(sử dụng giả thiết  \(xy=1\)  để suy ra đánh giá mới cho bài toán)

Do đó,

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{5.2-6}{4}=1\)

\(\Rightarrow\)  \(B\ge1\)

Cuối cùng, với  \(x=y=1\)  (thỏa mãn điều kiện) thì  \(B=1\)  nên ta suy ra  \(1\)  là giá trị nhỏ nhất  của biểu thức  \(B\)

Phép chứng minh hoàn tất.

Bạn xem lại đề nhé , nếu x = y = 1 thì B = 1 < 4

đây à