Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC bằng hai lần cung CB. Gọi M và N là điểm chính giữa các cung AC và BC. Nối MN cắt AC tại I. Hạ ND vuông góc với AC, CB cắt NO tại E.
a, Tính góc MIC;
b) Chứng minh DN là tiếp tuyến của (O; R)
c) Cho R = 5cm. Tính độ dài cung CB và diện tích hình quạt OCB.
a: sđ cung AC=2/3*180=120 độ
=>sđ cung AM=sđ cung MC=120/2=60 độ
sđ cung NB=sđ cung NC=60/2=30 độ
góc MIC=1/2(sđ cung AB+sđ cung MC)
=1/2(180+60)=120 độ
b: N là điểm chính giữa của cung BC
=>ON vuông góc bC
=>ON//AC
=>DN vuông góc NO
=>DN là tiếp tuyến của (O)
8/75
cho đường tròn O đường kính AB , điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B) . gọi M,N lần lượt là điểm chính giữa của cung AC nhỏ và cung BC nhỏ . gọi E là giao điểm của ON và CB . từ N vẽ NK vuông góc AC ( K thuộc AC)
A/ chứng minh tứ giác ECKN là hình chữ nhật và suy ra KN là tiếp tuyến tại N của đường tròn O
B/ vẽ đường kinh ND của đường tròn O . chứng minh tứ giác KEDA là hình bình hành
C/ gọi I là giao điểm của MN và KO . chứng minh (căn 2) /NI = 1/NK + 1/NO
thankkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow AC\bot BC\)
mà \(ON\bot BC\) (N là điểm chính giữa cung BC)
\(\Rightarrow CK\parallel EN\) mà \(NK\bot KC\Rightarrow NK\bot EN\)
\(\Rightarrow\angle KCE=\angle KNE=\angle CEN=90\Rightarrow ECKN\) là hình chữ nhật
\(\angle KNO=90\Rightarrow KN\) là tiếp tuyến
b) ECKN là hình chữ nhật \(\Rightarrow ECKN\) cũng nội tiếp
\(\Rightarrow\angle KEN=\angle KCN=\angle CNE\) \((KC\parallel NE)\)
Vì \(AC\parallel ND\) mà ACND nội tiếp \(\Rightarrow ACND\) là hình thang cân
\(\Rightarrow\angle CNE=\angle ADN\Rightarrow\angle KEN=\angle ADN\) \(\Rightarrow KE \parallel AD\)
mà \(KA\parallel ED\) \(\Rightarrow KEDA\) là hình bình hành
c) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MO\bot AC\\NK\bot AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MO\parallel NK\) \(\Rightarrow\dfrac{NI}{IM}=\dfrac{NK}{MO}\Rightarrow\dfrac{NI}{NK}=\dfrac{MI}{MO}=\dfrac{MI}{R}\)
Vì M,N lần lượt là điểm chính giữa cung AC,BC \(\Rightarrow\angle MON=90\)
\(\Rightarrow MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\)
Ta có: \(\dfrac{NI}{NK}+\dfrac{NI}{NO}=\dfrac{MI}{R}+\dfrac{NI}{R}=\dfrac{MI+NI}{R}=\dfrac{MN}{R}=\dfrac{\sqrt{2}R}{R}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow NI\left(\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\right)=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{NI}=\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\)
bài 1: cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Từ điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn, kẻ MN vuông góc với AB (N ∈ AB; M khác A; M khác B). từ N kẻ ND và NE lần lượt vuông góc với AM và BM (D ∈ AM, E ∈ BM).
a, Tứ giác DMEN là hình gì? Chứng minh.
b, Chứng minh DM . AM = EM . BM
c, Gọi O’ là tâm đường tròn đường kính NB. chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
d, Gọi I là điểm đối xứng với N qua D; gọi K là điểm đối xứng với N qua E. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để tứ giác AIKB có chu vi lớn nhất.
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn sao cho AC>CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H, kẻ OI vuông góc với AC tại I, kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O;R), tia OI cắt Ax tại M. Gọi giao điểm BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC=KH
Cho (O; R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn. Gọi M và N là điểm chính giữa các cung nhỏ AC và BC Nối MN cắt AC tại I. Hạ ND vuông góc AC. Gọi E là trung điểm của BC. Dựng hình bình hành ADEF.
a) tính góc MIC
b)DN là tiếp tuyến của (O;R)
c)F thuộc (O)
Cho đường tròn tâm O với dây AB cố định (AB không qua O) đường kính CD vuông góc với AB tại K( C thuộc cung lớn AB). Điểm N thuộc cung nhỏ AC. Nối CN cắt AB tại M, nối ND cắt AB tại E. Gọi H là trung điểm NC, kẻ HI vuông góc AN tại I.
1. Chứng minh CNEK là tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh MN.MC=MA.MB
3. Cho N di chuyển trên cung nhỏ AC, CM IH đi qua 1 điểm cố định và I thuojc một đường tròn cố định
1: góc CND=1/2*180=90 độ
Vì góc CNE+góc CKE=180 độ
nên CNEK nội tiếp
2: Xét ΔMNE và ΔMBC có
góc MNE=góc MBC
góc M chung
=>ΔMNE đồng dạng với ΔMBC
=>MN/MB=ME/MC
=>MN*MC=MB*ME
Cho đường tròn(O) đường kính AB . Cho điểm C thuộc đường tròn Từ C kẻ CH vuông góc với AB (C khác A,B) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt(O) tại D và E (D thuộc cung AC) giao điểm của DE với CH, CA, CA lần lượt là N, I, K.
Chứng minh:
1. tam giác ADC đồng dạng với tam giác CID( xong)
2. Chứng minh IH vuông góc với AC ( làm giúp mình câu này với)
3.N là trung điểm của DE
a) Gọi N là trung điểm của OC
Ta có: ΔOHC vuông tại H(CH⊥AB tại H)
mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)
nên \(HN=\dfrac{OC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(ON=CN=\dfrac{OC}{2}\)(N là trung điểm của OC)
nên HN=ON=CN(1)
Ta có: ΔOCI vuông tại I(OI⊥AC tại I)
mà IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)
nên \(IN=\dfrac{OC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(CN=ON=\dfrac{CO}{2}\)(N là trung điểm của CO)
nên IN=CN=ON(2)
Từ (1) và (2) suy ra NI=NO=NC=NH
hay I,O,C,H cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMAO vuông tại A có AI là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:
\(OI\cdot OM=OA^2\)
mà OA=R(A∈(O;R))
nên \(OI\cdot OM=R^2\)(đpcm)
Vì OM=2R và R=6cm nên \(OM=2\cdot6cm=12cm\)
Thay OM=12cm và R=6cm vào biểu thức \(OI\cdot OM=R^2\), ta được:
\(OI\cdot12=6^2=36\)
hay OI=3cm
Vậy: Khi OM=2R và R=6cm thì OI=3cm
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a. Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh góc ACM = góc ACK
c. Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét tứ giác HCBK có
\(\widehat{HCB}+\widehat{HKB}=180^0\)
Do đó: HCBK là tứ giác nội tiếp
b: Vì HCBK là tứ giác nội tiếp
nên \(\widehat{ACK}=\widehat{HBK}\)
mà \(\widehat{ACM}=\widehat{HBK}\left(=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AM}}{2}\right)\)
nên \(\widehat{ACM}=\widehat{ACK}\)
