\(A=\frac{2sin2x-2sin2x.cos2x}{2sin2x+2sin2x.cos2x}=\frac{1-cos2x}{1+cos2x}=\frac{2sin^2x}{2cos^2x}=tan^2x\)

\(B=\frac{2cos4x.sinx}{2cos4x}=sinx\)

Câu C ko dịch được đề

=cos2x+3

=cos2x+3 (*)

Ta có: 3( sin x – cosx) – 4 ( sin³x  - cos³x)

         =  3(sinx – cosx) – 4(sinx – cosx ).(sin²x + sinx. cosx+ cos² x)

         = 3( sin x – cosx) – 4(sinx – cosx).(1+ sinx. cosx)

         = (sin x – cosx) . ( 3- 4 – 4sinx. cosx)

        = ( sinx – cosx). (- 1- 4sinx. cosx)  = - ( sinx – cosx)( 1+ 2sin2x)

Khi đó (*) trở thành

ĐKXĐ: \(sin2x\ne-\dfrac{1}{2}\)

\(5\left(sinx+\dfrac{3sinx-4sin^3x+4cos^3x-3cosx}{1+2sin2x}\right)=cos2x+3\)

\(\Leftrightarrow5\left(sinx+\dfrac{3\left(sinx-cosx\right)-4\left(sinx-cosx\right)\left(1+\dfrac{1}{2}sin2x\right)}{1+2sin2x}\right)=cos2x+3\)

\(\Leftrightarrow5\left(sinx+\dfrac{\left(sinx-cosx\right)\left(-1-2sin2x\right)}{1+2sin2x}\right)=cos2x+3\)

\(\Leftrightarrow5\left(sinx+cosx-sinx\right)=cos2x+3\)

\(\Leftrightarrow5cosx=2cos^2x-1+3\)

\(\Leftrightarrow...\)

a/

\(sinx-sin3x-2sin2x=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow-2cos2x.sinx-2sin2x=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow cos2x.sinx+sin2x=-\sqrt{2}\)

Ta có:

\(VT^2=\left(cos2x.sinx+sin2x.1\right)^2\le\left(cos^22x+sin^22x\right)\left(sin^2x+1\right)=sin^2x+1\le2\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le VT\le\sqrt{2}\Rightarrow VT\ge-\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}cos2x.1=sin2x.sinx\\sin^2x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2cos^2x-1=2sin^2x.cosx\\cosx=0\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại x thỏa mãn)

Vậy pt đã cho vô nghiệm (thay cosx=0 lên pt trên được -1=0 vô lý)

ĐKXĐ:

\(\left(tanx+cotx\right)^2=\left(tanx-cotx\right)^2+4tanx.cotx\)

\(\Leftrightarrow\left(tanx+cotx\right)^2=\left(tanx-cotx\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx+cotx\ge2\\tanx+cotx\le-2\end{matrix}\right.\)

Mà \(-1\le sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le1\Rightarrow-2\le sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}tanx+cotx=2\\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}tanx+cotx=-2\\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Đến đây chắc đơn giản rồi, bạn tự giải được đúng ko

\(sin3x-cos3x=\left(3sinx-4sin^3x\right)-\left(4cos^3x-3cosx\right)\)

\(=3\left(sinx+cosx\right)-4\left(sin^3x+cos^3x\right)\)

\(=2\left(sin^3x+cos^3x\right)-6\left(sin^3x+cos^3x\right)+3\left(sinx+cosx\right)\)

\(=2\left(sin^3x+cos^3x\right)-6\left(sinx+cosx\right)\left(1-sinx.cosx\right)+3\left(sinx+cosx\right)\)

\(=2\left(sin^3x+cos^3x\right)-3\left(sinx+cosx\right)\left(1-2sinx.cosx\right)\)

\(=2\left(sin^3x+cos^3x\right)+6sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)-3\left(sinx+cosx\right)\)

\(=2\left(sinx+cosx\right)^3-3\left(sinx+cosx\right)\) (đpcm)

7.

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right).sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\ne0\\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow cos2x\ne0\)

Phương trình tương đương:

\(\Leftrightarrow\frac{sin^42x+cos^42x}{tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right).cot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}-x\right)}=cos^44x\)

\(\Leftrightarrow\frac{sin^42x+cos^42x}{tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right).cot\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=cos^24x\)

\(\Leftrightarrow sin^42x+cos^42x=cos^44x\)

\(\Leftrightarrow\left(sin^22x+cos^22x\right)^2-2sin^22x.cos^22x=cos^44x\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{2}sin^24x=cos^44x\)

\(\Leftrightarrow2-\left(1-cos^24x\right)=2cos^44x\)

\(\Leftrightarrow2cos^44x-cos^24x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cos^24x-1\right)\left(2cos^24x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos^24x-1=0\)

\(\Leftrightarrow sin^24x=0\Leftrightarrow sin4x=0\)

\(\Leftrightarrow2sin2x.cos2x=0\Leftrightarrow sin2x=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)

1.

\(cos2x+5=2\left(2-cosx\right)\left(sinx-cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x+4=4sinx-4cosx-2sinx.cosx+2cos^2x\)

\(\Leftrightarrow2sinx.cosx-4\left(sinx-cosx\right)+4=0\)

Đặt \(sinx-cosx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|t\right|\le\sqrt{2}\\2sinx.cosx=1-t^2\end{matrix}\right.\)

Pt trở thành:

\(1-t^2-4t+4=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+4t-5=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-5\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)

2.

\(\Leftrightarrow\left(sinx-1\right)^2+1=sin^23x\)

Ta có \(VT\ge1\) trong khi \(VP\le1\) với mọi x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}sinx-1=0\\sin^23x=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

3.

\(\Leftrightarrow-2cos2x.sinx-2sin2x=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow cos2x.sinx+sin2x=-\sqrt{2}\)

Ta có:

\(VT^2=\left(cos2x.sinx+sin2x.1\right)^2\le\left(cos^22x+sin^22x\right)\left(sin^2x+1\right)\le1\left(1+1\right)=2\)

\(\Rightarrow VT\ge-\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}sinx=1\\cos2x=sinx.sin2x\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại x thỏa mãn)

Vậy pt vô nghiệm