am-gm cái VT(đánh giá từ TBN sang TBC) 

\(ĐKXĐ:x\ge\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho các số dương ta có :

\(\sqrt{2x-1}=\sqrt{1.\left(2x-1\right)}\le\frac{1+2x-1}{2}=x\)

\(\sqrt[4]{4x-3}=\sqrt[4]{1.1.1.\left(4x-3\right)}\le\frac{1+1+1+4x-3}{4}=x\)

\(\sqrt[6]{6x-5}=\sqrt[6]{1.1.1.1.1.\left(6x-5\right)}\le\frac{1+1+1+1+1+6x-5}{6}=x\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x-1}+\sqrt[4]{4x-3}+\sqrt[6]{6x-5}\le3x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)

2:

a: =>2x^2-4x-2=x^2-x-2

=>x^2-3x=0

=>x=0(loại) hoặc x=3

b: =>(x+1)(x+4)<0

=>-4<x<-1

d: =>x^2-2x-7=-x^2+6x-4

=>2x^2-8x-3=0

=>\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{22}}{2}\)

\(a,PT\Leftrightarrow\left|x+3\right|=3x-6\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=3x-6\left(x\ge-3\right)\\x+3=6-3x\left(x< -3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{9}{2}\left(tm\right)\\x=\dfrac{3}{4}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}\\ b,PT\Leftrightarrow\left|x-1\right|=\left|2x-1\right|\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=2x-1\\1-x=2x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,ĐK:x\le\dfrac{2}{5}\\ PT\Leftrightarrow4-5x=25x^2-20x+4\\ \Leftrightarrow25x^2-15x=0\\ \Leftrightarrow5x\left(5x-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=\dfrac{3}{5}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\\ d,ĐK:x\le\dfrac{2}{5}\\ PT\Leftrightarrow4-5x=2-5x\\ \Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Ta có:

 \(16x^4+4x^2+1=16x^4+8x^2+1-4x^2=\left(4x^2+1\right)^2-4x^2=\left(4x^2-2x+1\right)\left(4x^2+2x+1\right)\)

\(4x^2-6x+1=2\left(4x^2-2x+1\right)-\left(4x^2+2x+1\right)\)

Chia hai vế phương trình ban đầu cho \(4x^2+2x+1\) ta được

\(2\dfrac{4x^2-2x+1}{4x^2+2x+1}-1=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{\dfrac{4x^2-2x+1}{4x^2+2x+1}}\)

Đặt \(y=\sqrt{\dfrac{4x^2-2x+1}{4x^2+2x+1}}>0\), phương trình trên tương đương với

\(2y^2-1=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}y\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(tm\right)\\y=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ta có: 

\(\dfrac{4x^2-2x+1}{4x^2+2x+1}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3\left(4x^2-2x+1\right)-\left(4x^2+2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\).

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^2-1\right)^2+9}+\sqrt{3\left(x-1\right)^2+25}=-3\left(x-1\right)^2+8\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2\left(x^2-1\right)^2+9}+\sqrt{3\left(x-1\right)^2+25}\ge\sqrt{9}+\sqrt{25}=8\\-3\left(x-1\right)^2+8\le8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2\left(x^2-1\right)^2+9}+\sqrt{3\left(x-1\right)^2+25}\ge-3\left(x-1\right)^2+8\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\)

a) Điều kiện xác định \(16x+8\ge0\Leftrightarrow x\ge-\frac{1}{2}.\)

Theo bất đẳng thức Cô-Si cho 4 số ta được 

\(4\sqrt[4]{16x+8}=4\sqrt[4]{2\cdot2\cdot2\cdot\left(2x+1\right)}\le2+2+2+2x+1=2x+7\)

Do vậy mà \(4x^3+4x^2-5x+9\le2x+7\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2\left(x+2\right)\le0\).

Vì \(x\ge-\frac{1}{2}\to x+2>0\to\left(2x-1\right)^2\le0\to x=\frac{1}{2}.\) 

b. Ta viết phương trình dưới dạng sau đây  \(9x^4-21x^3+27x^2+16x+16=0\Leftrightarrow3x^2\left(3x^2-7x+7\right)+4\left(x+2\right)^2=0\)

Vì \(3x^2-7x+7=\frac{36x^2-2\cdot6x\cdot7+49+35}{12}=\frac{\left(6x-7\right)^2+35}{12}>0\) nên vế trái dương, suy ra phương trinh vô nghiệm.

Lời giải:

a. Đề thiếu

b. PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2}=3$

$\Leftrightarrow |x-1|+|x-2|=3$
Nếu $x\geq 2$ thì pt trở thành:
$x-1+x-2=3$

$\Leftrightarrow 2x-3=3$

$\Leftrightarrow x=3$ (tm)

Nếu $1\leq x< 2$ thì:

$x-1+2-x=3\Leftrightarrow 1=3$ (vô lý)

Nếu $x< 1$ thì:

$1-x+2-x=3$

$\Leftrightarrow x=0$ (tm)