cho các số thực x,y,z thỏa mãn 2x+3y-z=4. Tìm min max của A =xy+yz+zx
Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
Tìm max của \(A=xy+yz+zx-xyz\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z
\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)
Mặt khác từ giả thiết:
\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)
\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)
\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)
Do đó:
\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)
\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 x = 3 y = 6 z . Rút gọn P = x y + y z + z x .
A. P=0
B.P=xy
C. P=2xy
D. p=3xy
Đáp án C
- Nếu một trong ba số bằng 0 thì P=0
- Nếu x y z ≠ 0 ta đặt
2 x = 3 y = 6 z = k > 0 ⇒ 2.3 = 6
⇒ k 1 x . k 1 y = k 1 z ⇔ 1 x + 1 y = 1 z ⇒ P = 2 x y
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 x = 3 y = 6 z . Rút gọn P = x y + y z + z x
A. 0
B. xy
C. 2xy
D. 3xy
x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=2024. Tìm min \(P=\dfrac{\sqrt{x^2+2024}+\sqrt{y^2+2024}+\sqrt{z^2+2024}}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)
\(\sqrt{x^2+2024}=\sqrt{x^2+xy+yz+zx}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y^2+2024}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z^2+2024}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2024}{3}\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của:
\(P=\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y^4}{z+3x}+\frac{z^4}{z+3y}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:
\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế ta có:
\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" khi x=y=z=1
xin cho mình hỏi sao x+y+z lại\(\ge\)xy+yz+zx vậy
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=>\(\left(a+b+c\right)^2\ge9\)
<=>\(a+b+c\ge3\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1.
Tìm max của \(P=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}\)
\(P=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{xz}{y+1}\)
\(P=\frac{xy}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}+\frac{yz}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{xz}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}+\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z}+\frac{xz}{x+y}+\frac{xz}{y+z}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
cho x;y;z là các số thực thỏa mãn x2+y2+z2=1.Tìm Max của bt:
A=(x2-yz)(y2-zx)(z2-xy)
\(A=\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)=\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}.\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}.\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\)Giả sử \(x^2\ge yz;y^2\ge zx;z^2\ge xy\)
Theo Cosi ta có :
\(\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}\le\frac{x^2-yz+y^2-zx}{2}\)
\(\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}\le\frac{y^2-zx+z^2-xy}{2}\)
\(\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\le\frac{z^2-xy+x^2-yz}{2}\)
Cộng theo vế ta được :
\(A\le\frac{x^2-yz+y^2-zx+y^2-zx+z^2-xy+z^2-xy+x^2-yz}{2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=1-\left(xy+yz+zx\right)\le1-\left(x^2+y^2+z^2\right)=1-1=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\) hoặc \(x=y=z=\frac{-1}{3}\) ( thỏa mãn giả sử )
Chúc bạn học tốt ~
PS : ko chắc :v
Đăng có 1 cái ảnh mà nó không hiện, tức-_-
Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=xyz. Tìm min của P=\(\frac{x}{y^2}\)+ y/z^2+z/x^2+6(\(\frac{1}{xy}\)+1/yz+1/zx)
Tìm các số x , y, z thỏa mãn đồng thời 2x=3y=4z và xy+yz+zx = 6
2x=3y=4z =k
suy ra x=k/2; y=k/3, z=k/4
mà xy + yz + zx = 6
suy ra \(\frac{k^2}{6}+\frac{k^2}{12}+\frac{k^2}{8}=6\Rightarrow k^2.\frac{3}{8}=6\Rightarrow k^2=16\Rightarrow k\in\left\{4;-4\right\}\)
Với k = 4 suy ra x =2; y=4/3; z=1
Với k =- 4 suy ra x =-2; y=-4/3; z=-1
Ta có :
\(2x=3y\Leftrightarrow\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{4}\)
\(3y=4z\Leftrightarrow\frac{z}{3}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}\)
Ta có :
\(\left(\frac{x}{6}\right)^2=\frac{x}{6}.\frac{x}{6}=\frac{x}{6}.\frac{y}{4}=\frac{y}{4}.\frac{z}{3}=\frac{z}{3}.\frac{y}{6}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{x}{6}\right)^2\)\(=\frac{xy}{24}=\frac{yz}{12}=\frac{zx}{18}=\frac{xy+yz+zx}{24+12+18}=\frac{1}{9}\)\(\left(\text{T/c dãy tỉ số bằng nhau}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}\)\(=\pm\frac{1}{3}\)
\(Th1:\hept{\begin{cases}x=2\\y=\frac{4}{3}\\z=1\end{cases}}\)
\(Th2:\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-\frac{4}{3}\\z=-1\end{cases}}\)