Cho \(a,b,c\ge0;a^2+b^2+c^2+abc\le4.\) Chứng minh rằng$:$
\(a+b+c\ge3abc\)
Cho \(a\ge0\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) thoả \(\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\). Xác định tất cả các giá trị a, b, c.
Cho \(a\ge0,b\ge0,c\ge0\).Chứng minh rằng :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế bđt trên =>đpcm
\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)
\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)
\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)
cho \(a\ge0;b\ge0;c\ge0;\)Cm
\(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Ta có :
\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)
\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
cho \(a,b,c\ge0.\)cmr \(\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\ge0\)
Ta có: \(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)
\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a-d}{d+b}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+a}+1+\frac{c-a}{a+d}+1\)
\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a+b}{d+b}+\frac{d+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+d}{a+d}\)
\(\Leftrightarrow A+4=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{xy}\)với mọi x,y>0
Ta có: \(A+4\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(d+c\right)}{a+b+c+d}\)
\(A+4\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)
\(A\ge0\)(dpcm)
cho \(a\ge0,b\ge0\)
c/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Vì \(a,b,c\ge0\)Nên ta nhân a+b+c vào hai vế của bất đẳng thức :
Ta được:\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)-9\ge0\)(2)
Lại có \(ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Tương tự:\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)(1)
Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)
Vậy..........................................................................................
Dấu "=" <=> a=b=c
Nếu như tớ làm đúng thì bạn k cho tớ với nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Thanks bạn trước!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng engel , ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Áp dụng bđt cô si cho bộ số a,b,c >0
a+b+c>=3 * với căn bậc 3 của abc
1/a+1/b+1/c>=3 * căn bậc 3 của 1/abc
Nhân 2 vế đựợc (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
=> đề bài (đpcm)
cho \(a\ge0,b\ge0\)
c/m \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c
\(bpt\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
C-S: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)
Nhân theo vế suy ra đpcm
p/s: @Phùng Khánh Linh. Minh từng nói học toán phải từ gốc đến ngọn. Thực tế lp 8 còn ko biết đến C-S Engel là gì. Giải nên thiết thực với thực tế. T nói thế thôi ( góp ý hết sức nhẹ nhàng và éo tình cảm)
nhân a+b+c vào hai vế,ta được:
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)-9\ge0\)
áp dụng BĐT cô-si ta có
\(\Leftrightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)
dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x=y
Cho \(a,b,c,d\ge0\).CMR \(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\)
@BĐT Vasile cirtoaje
Đặt cái ban đầu là A
Dầu tiên ta có
\(\text{(3a+c)(a+2b+c)+(3b+d)(b+2c+d)+(3c+a)(c+2d+a)+(3d+b)(d+2a+b)}\)
\(=4\left(a+b+c+d\right)^2\)
Ta có: \(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{3a+c}{a+2b+c}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)}\)
Tương tự ta có
\(\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3b+d\right)^2}{\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)}\)
\(\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3c+a\right)^2}{\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)}\)
\(\frac{d-a}{d+2a+b}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3d+b\right)^2}{\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{1}{2}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{1}{2}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{1}{2}+\frac{d-a}{d+2a+b}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3d+b\right)^2}{\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3c+a\right)^2}{\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3b+d\right)^2}{\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)}\)
\(\ge\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c+3b+d+3c+a+3d+b\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)+\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)+\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)+\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{16\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(a+b+c+d\right)^2}=2\)
\(\Rightarrow A+2\ge2\)
\(\Leftrightarrow A\ge0\)
=4(a+b+c+d)2
Ta có: a−ba+2b+c +12 =12 .3a+ca+2b+c =12 .(3a+c)2(3a+c)(a+2b+c)
Tương tự ta có
b−cb+2c+d +12 =12 .(3b+d)2(3b+d)(b+2c+d)
c−dc+2d+a +12 =12 .(3c+a)2(3c+a)(c+2d+a)
d−ad+2a+b +12 =12 .(3d+b)2(3d+b)(d+2a+b)
Cộng vế theo vế ta được
a−ba+2b+c +12 +b−cb+2c+d +12 +c−dc+2d+a +12 +d−ad+2a+b +12 =12 .(3d+b)2(3d+b)(d+2a+b) +12 .(3c+a)2(3c+a)(c+2d+a) +12 .(3b+d)2(3b+d)(b+2c+d) +12 .(3a+c)2(3a+c)(a+2b+c)
≥12 .(3a+c+3b+d+3c+a+3d+b)2(3a+c)(a+2b+c)+(3b+d)(b+2c+d)+(3c+a)(c+2d+a)+(3d+b)(d+2a+b)
=12 .16(a+b+c+d)24(a+b+c+d)2 =2
⇒A+2≥2
Cho \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0;\)\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0;\)\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0.\)
CM: \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
Tim GTNN của \(C=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)với \(a\ge0,b\ge0,c\ge0\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le0\)
Cho \(a;b;c\ge0\)CMR
a) \(a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge0\)
b) \(a^6+b^6+c^6\ge a^5b+b^5c+c^5b\)