Đáp án A

Hàm số đồng biến trên

.

Xét hàm số

.

Khi đó .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là .

BBT:

Đáp án A

T X D : D = ℝ \ 1  

Ta có:  y = m x 2 − m + 2 x + m 2 − 2 m + 2 x − 1 = m x − 2 + m 2 − 2 m x − 1 ⇒ y ' = m − m 2 − 2 m x − 1 2

hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó khi y ' ≥ 0 ∀ x ∈ D  (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm)

⇔ m − m 2 − 2 m x − 1 2 ≥ 0 ∀ x ∈ D ⇔ x x − 1 2 ≥ m 2 − 2 m ∀ x ∈ D

Với m = 0 ⇒ y ' = 0 ∀ x ∈ D  (không thỏa mãn dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm)

Khi đó hàm số luôn đồng biến trên tập xác định m > 0 m 2 − 2 m ≤ 0 ⇔ 0 < m ≤ 2  

Lời giải:
a. $y=mx-x^2-2x+mx^2+m=x^2(m-1)+x(m-2)+m$

Lấy $x_1,x_2\in R$ sao cho $x_1\neq x_2$

$y(x_1)=x_1^2(m-1)+x_1(m-2)+m$

$y(x_2)=x_2^2(m-1)+x_2(m-2)+m$
Để hàm đồng biến thì:

$\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{x_1^2(m-1)+x_1(m-2)+m-[x_2^2(m-1)+x_2(m-2)+m]}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{(m-1)(x_1^2-x_2^2)+(m-2)(x_1-x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow (m-1)(x_1+x_2)+(m-2)>0$ 

Với mọi $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thì không có cơ sở để tìm $m$ sao cho hàm đồng biến.

b.

Xét tương tự câu 1, với $x_1\neq x_2\in \mathbb{R}$ thì hàm đồng biến khi:

$(m^2-3m+2)(x_1+x_2)+(m-1)>0$

Với mọi $x_1, x_2\in\mathbb{R}$ thì điều này xảy ra khi:

$m^2-3m+2=0$ và $m-1>0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m-2)=0$ và $m-1>0$

$\Leftrightarrow m=2$

Tập xác định: D = R ∖ { 1 } 

·  y ' = m x 2 + 2 m x + 1 x + 1 2

· Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y ' > 0; ∀ x ≠ 1

· Xét m = 0, ta có y ' = 1 x + 1 2 > 0 ; ∀ x ≠ 1  (tm).

· Xét m ≠ 0 .Yêu cầu bài toán  

⇔ ∆ ' = m 2 - m ≤ 0 m > 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 m > 0 ⇔ 0 < m ≤ 1

Kết luận:  0 ≤ m ≤ 1

Đáp án B

Đáp án B

Ta có y ' = − 3 x 2 + 2 m x .  Hàm số đồng biến trên khoảng 0 ; 2 ⇔ y ' ≥ 0 , ∀ x ∈ 0 ; 2 ⇒ − 3 x 2 + 2 m x ≥ 0 ⇔ m ≥ 3 x 2 , x ∈ 0 ; 2  

Xét hàm số f x = 3 x 2 , x ∈ 0 ; 2 ⇒ f ' x = 3 2 > 0 ⇒ f x  đồng biến trên đoạn 0 ; 2 .  

Suy ra f x 0 ; 2 < f 2 = 3 ⇒ m ≥ 3.  

Đáp án B

Ta có  y ' = 3 x 2 + 2 m x + 1 − 2 m

Hàm số đồng biến trên  − 3 ; 0 ⇔ y ' ≥ 0 , ∀ x ∈ − 3 ; 0 ⇔ 3 x 2 + 2 m x + 1 − 2 m ≥ 0 , ∀ x ∈ − 3 ; 0

⇔ m 2 x − 2 ≥ − 3 x 2 − 1 ⇔ m ≤ − 3 x 2 + 1 2 x − 2 , x ∈ − 3 ; 0     1

Xét hàm số

  f x = − 3 x 2 + 1 2 x − 2 , x ∈ − 3 ; 0 ⇒ f ' x = − 6 x 2 + 12 x + 2 2 x − 2 2 ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 3 ± 2 3 3

Ta có bảng biến thiên hàm số f x như sau:

Suy ra  f x − 3 ; 0 ≥ 2 3 − 3 ⇒ 1 ⇔ m ≤ 2 3 − 3

Đáp án D

Ta có: y ' = x 2 − 2 m x + 4 m − 3  . Để hàm số đồng biến trên R thì y ' ≥ 0    ∀ x ∈ ℝ  

⇔ Δ ' = m 2 − 4 m + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 3 ⇒ m  lớn nhất bằng 3

Chọn D

Đáp án A