\(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{ab}+ab\)
\(a^2+b^2+6ab\le8\)
GTNN
a,b dương
Những câu hỏi liên quan
cho a,b>0 và \(a^3+b^3+6ab\le8\). tìm GTNN của \(P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}+ab\)
cho a,b là các số thực dương tm a^3+b^3+6able 8cmr Pa+2b+frac{2}{a}+frac{3}{b}ge8blta có 8ge a^3+b^3+6abge ableft(a+bright)+6abge ableft(a+b+1+1+1+1+1+1right)ge8absqrt[8]{ab}suy ra able1mà Pa+b+b+frac{1}{a}+frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{b}+frac{1}{b}ge8.sqrt[8]{a.b.b.frac{1}{a^2}.frac{1}{b^3}}8sqrt[8]{frac{1}{ab}}ge8dau sảy ra khi ab1
Đọc tiếp
cho a,b là các số thực dương tm \(a^3+b^3+6ab\le\) 8
cmr \(P=a+2b+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\ge8\)
bl
ta có \(8\ge a^3+b^3+6ab\ge ab\left(a+b\right)+6ab\ge ab\left(a+b+1+1+1+1+1+1\right)\ge8ab\sqrt[8]{ab}\)
suy ra ab\(\le1\)
mà P=\(a+b+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge8.\sqrt[8]{a.b.b.\frac{1}{a^2}.\frac{1}{b^3}}=8\sqrt[8]{\frac{1}{ab}}\ge8\)
dau = sảy ra khi a=b=1
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa nãm a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức
\(H=\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
Bài 2:Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn \(a^2-6ab-2b^2=0\)
Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{ab}{a^2+2b^2}\)
Cho a,b thỏa mãn a,b>0 và \(a^3+b^3+6ab\le8\)
tìm GTNN A=\(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}+ab\)
1)chứng minha)x^2+y^2frac{left(x+yright)^2}{2}2xyb)a^2+frac{1}{a^2+1}1c)với a,b,c 0 chứng minh rằng left(â^2+b^2right)c+left(b^2+c^2right)a+left(c^2+a^2right)b6abd)với a,b,c dương chứng minh frac{ab}{a+b}+frac{bc}{b+c}+frac{ca}{c+a} frac{a+b+c}{2}
Đọc tiếp
1)chứng minh
a)\(x^2+y^2>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}>=2xy\)
b)\(a^2+\frac{1}{a^2+1}>=1\)
c)\(\)với a,b,c >0 chứng minh rằng \(\left(â^2+b^2\right)c+\left(b^2+c^2\right)a+\left(c^2+a^2\right)b>=6ab\)
d)với a,b,c dương chứng minh
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}< =\frac{a+b+c}{2}\)
a)Áp dụng BĐT B.C.S:(1^2+1^2)(x^2+y^2)>=(1.x+1.y)^2>>>2(x^2+y^2)>=(x+y)^2.Sau đó chia 2 ở cả 2 vế.
Áp dụng BĐT Cô-si:(x+y)>=2√xy >>>>(x+y)^2/2>=2xy(đpcm)
b)a^2+1/(a^2+1)=a^2+1+1/(a^2+1)-1>=2-1=1(BĐT Cô-si)
c)a^2+b^2>=2ab suy ra (a^2+b^2)c>=2abc,tương tự rồi cộng lại là >=6abc nhé
d)ab/a+b<=(a+b)^2/4(a+b)(cm ở câu a)=(a+b)/4
Tương tự cộng lại được ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a<=(a+b+b+c+c+a)/4=(a+b+c)/2(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn a+b\(\le\)1
a) B=\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab\)
b) C=\(\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\)
a)\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}\cdot8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_B=7\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b)\(C\ge\frac{1}{1-3ab\left(a+b\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{16}{1-3ab\left(a+b\right)+3ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^3}{4}}\ge16+4=20\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_C=20\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (1)
a)chứng minh rằng: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\) với mọi giá trị của a,b
b) cho các số dương a,b,c >0 cmr \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Cho a,b là các số dương thỏa mãn \(a+b+ab=3\)
Chứng minh rằng:\(\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\le a^2+b^2+\frac{3}{2}\)
Từ \(a+b+ab=3\Rightarrow a+b=3-ab\ge3-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+6\right)\left(a+b-2\right)\ge0\Rightarrow a+b\ge2\)
Biến đổi bài toán như sau:
\(P=\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}-a^2-b^2\le\frac{3}{2}\)
Tức là chứng minh \(\frac{3}{2}\) là GTLN của \(P\)
\(P=\frac{3\left(a^2+b^2\right)+3\left(a+b\right)}{ab+a+b+1}+\frac{3-a-b}{a+b}-\left(a+b\right)^2++2\left(3-a-b\right)\)
\(=\frac{3}{4}\left[3\left(a+b\right)^2-6\left(3-a-b\right)+3\left(a+b\right)\right]\)
\(+\frac{3}{a+b}-1-\left(a+b\right)^2+6-2\left(a+b\right)\)
Khảo sat đồ thì trên \(a+b\ge2\) tìm tìm được \(P_{Max}=\frac{3}{2}\)
P/s:giờ mk đi ngủ, mệt r` chỗ nào khó hiểu mai hỏi :D
Đúng 0
Bình luận (0)
ta có: \(VT=\frac{a\left(a+b+ab\right)}{b+1}+\frac{b\left(a+b+ab\right)}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\)
\(=a^2+b^2+\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\)
cần cm \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}\)
theo giả thiết \(4=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)
ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ab+a+b}{a+b}-1=\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{2}-1\)(*)
\(\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(b+ab\right)+\frac{1}{4}\left(a+ab\right)=\frac{1}{4}\left(3+ab\right)\)(**)
giờ cần tìm max ab.để ý rằng \(ab=ab+a+b-\left(a+b\right)=3-\left(a+b\right)\le3-2=1\)
khi đó \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}-1+\frac{1}{4}\left(3+1\right)=\frac{3}{2}\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi a=b=1
Đúng 0
Bình luận (0)
CHo các số dương a,b,c dương thỏa mã a+b+c=1.tìm gtln của \(A=\frac{\sqrt{3a}+2\sqrt{bc}}{1+\sqrt{bc}+3\sqrt{a+bc}}+\frac{\sqrt{3b}+2\sqrt{ca}}{1+\sqrt{ca}+3\sqrt{b+ca}}+\frac{\sqrt{3c}+2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}+3\sqrt{c+ab}}\)