Cho 4 số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c ≥ d ≥0. Chứng minh
a) a2 - b2 +c2 ≥ (a-b+c)2
b) a2 - b2 +c2 -d2 ≥ (a-b+c-d)2
Cho a, b, c, d, q, p thỏa mãn p2 + q2 - a2 - b2 - c2 - d2 > 0. Chứng minh rằng : ( p2 - a2 - b2 )( q2 - c2 - d2 ) ≤ ( pq- ac - bd )2
Cho 4 số tự nhiên khác 0 thỏa mãn: a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số
Ta có : a2 + b2 = c2 + d2
⇒a2 + b2 + c2 + d2 = 2 ( a2 + b2 ) ⋮2 nên là hợp số
Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 - ( a + b + c + d )
= a ( a - 1 ) + b ( b - 1 ) + c ( c - 1 ) + d ( d - 1 ) ⋮2
⇒a + b + c + d ⋮2 nên cũng là hợp số
Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) là chẵn
Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)
Mà tích 2 số TN liên tiếp là chẵn
⇒ Tổng a+b+c+d là chẵn
Vì \(a+b+c+d>2\) với mọi số TN a,b,c,d khác 0
⇒ a+b+c+d là hợp số
Bài 5:
Cho a,b,c,da,b,c,d là các số thực thỏa mãn {a+b+c+d=0a2+b2+c2+d2=2{a+b+c+d=0a2+b2+c2+d2=2
Tìm GTLN của P=abcd.
Bài 6:
Cho a,b,c≥0a,b,c≥0 thỏa mãn a+b+c=1.a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P=abc(a2+b2+c2)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0,a2+b2\(\ne\)c2,b2+c2\(\ne\)a2,c2+a2\(\ne\)b2.Tính giá trị biểu thức P=\(\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}\)+\(\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
Cho a,b,c không âm. Chứng minh rằng :
a) a2 + b2 + c2 + 2abc + 2 > hoặc=ab +bc +ca +a+b+c
b)a2 + b2 +c2 +abc +4 > hoặc = 2(ab+bc+ca)
c) 3(a2 + b2 + c2) + abc +4 > hoặc =4 (ab+bc+ca)
d) 3(a2 + b2 + c2) + abc +80 > 4(ab+bc+ca) + 8(a+b+c)
Tìm a,b,c,d thỏa mãn
a2+b2+c2+d2+1=a×(b+c+d+1)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+1=a\left(b+c+d+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4=4ab+4ac+4ad+4a\)
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4a+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b\\a=2c\\a=2d\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=c=d=1\end{matrix}\right.\).
Vậy \(\left(a,b,c,d\right)=\left(2,1,1,1\right)\)
Cho a,b,c,d thuộc Z.Thỏa mãn a+b=c+d.Mà a2+b2=c2+d2.Chứng minh a^2017+b^2017=c^2017+d^2017
Cho a, b, c thỏa mãn: 0 < a < 1 ; 0 < b < 1 ; 0 < c < 1 v à a + b + c = 2 . Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 < 2
Ta có:
0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)
Tương tự:
0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)
0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)
Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:
a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0
⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c
⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:
(a2+2)(b2+2)(c2+2)-18 ≥ 3(a2+b2+c2)
Cho tỉ lệ thức :a/b=c/d
Chứng minh rằng:(a+b)2/(c+d)2=a2 +b2/c2+d2
Bạn đánh lại đề đi, Để ghi dấu mũ bạn ấn nút "x2" trên thanh công cụ, sau khi bạn gõ xong dấu mũ rồi bạn ấn lại nó để đưa về trạng thái thường
\(\frac{\left(a+b\right)2}{\left(c+d\right)2}=\frac{2a+2b}{2c+2d}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b\right)2}{\left(c+d\right)2}=\frac{2a+2b}{2c+2d}\)