Cho\(\Delta ABC\)nhọn các đường cao BD và CE cắt nhauowr H.Chứng minh rằng:
a)\(\Delta BAD~\Delta CAE\)
b)HB.HD=HC.HE
c)\(\Delta BHC~\Delta DHE\)
d)DH.DB=DA.DC
Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a)tam giác BAD đồng dạng tgiac CAE
b) HB.HD = HC.HE
c)tgiac BHC đồng dạng tgiac DHE
d) DH.DB = DA.DC
a, Xét tam giác BAD và tam giác CAE có
^A _ chung
^BDA = ^CEA = 900
Vậy tam giác BAD ~ tam giác CAE (g.g)
b, => ^ABD = ^ACE (2 góc tương ứng)
Xét tam giác HBE và tam giác HCD ta có
^HBE = ^HCE (cmt)
^BHE = ^CHD (đ.đ)
Vậy tam giác HBE ~ tam giác HCD (g.g)
\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{HD}\Rightarrow HD.HB=HE.HC\)
c, xem lại cách viết cạnh tương ứng tam giác bạn nhé
Xét tam giác BHC và tam giác EHD ta có
\(\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{HC}{HD}\)(tỉ lệ thức của tỉ số đồng dạng trên)
^BHC = ^EHD (đ.đ)
Vậy tam giác BHC ~ tam giác EHD (c.g.c)
cho tam giác abc nhọn , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Cmr :
a) tam giác BAD đồng dạng với tam giácCAE
b ) HB.HD = HC.HE
c) tam giác BHC đồng dạng với tam giác DHE
d) DH.DB = DA.DC
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, có \(BD\), \(CE\) là \(2\) đường cao cắt nhau tại \(H\)
\(a\)) Cm: \(\Delta EHB\) đồng dạng \(\Delta DHC\)
\(b\)) Cm: \(HB.HD=HE.HC\)
a)
xét tam giác EHB và tam giác DHC có
góc BEC = góc CDH = 90 độ
góc EHB = góc DHC (hai góc đối đỉnh)
=> tam giác EHB đồng dạng tam giác DHC (g-g)
b)
vì tam giác EHB đồng dạng tam giác DHC (cmt)
=> `(HB)/(HC)=(HE)/(HD)` (tính chất)`
=> `HB*HD=HE*HC`
Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn , các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. C/minh: \(\Delta EHD\sim\Delta BHC\)
Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn , các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. C/minh: \(\Delta EHD\sim\Delta BHC\)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) ΔEHB đồng dạng ΔDHC
b) ΔHED đồng dạng ΔHBC
c) ΔADE đồng dạng ΔABC
d) BD.BH+CH.CE=BC²
a) Xét ΔEHB vuông tại E và ΔDHC vuông tại D có
\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEHB∼ΔDHC(góc nhọn)
b) Ta có: ΔEHB∼ΔDHC(cmt)
\(\Leftrightarrow\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)
Xét ΔHED và ΔHBC có
\(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)(cmt)
\(\widehat{EHD}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHED∼ΔHBC(c-g-c)
c) Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
\(\widehat{DAB}\) chung
Do đó: ΔADB∼ΔAEC(g-g)
\(\Leftrightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
Xét ΔADE và ΔABC có
\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(cmt)
\(\widehat{DAE}\) chung
Do đó: ΔADE∼ΔABC(c-g-c)
d) Gọi K là giao điểm của AH và BC
Xét ΔABC có
BD là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
CE là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
BD\(\cap\)CE={H}
Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)
⇔AH⊥BC
⇔AK⊥BC(AH\(\cap\)BC={K})
Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có
\(\widehat{DBC}\) chung
Do đó: ΔBKH∼ΔBDC(góc nhọn)
\(\Leftrightarrow\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(BK\cdot BC=BH\cdot BD\)
Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có
\(\widehat{ECB}\) chung
Do đó: ΔCKH∼ΔCEB(g-g)
\(\Leftrightarrow\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(CK\cdot CB=CE\cdot CH\)
Ta có: \(BD\cdot BH+CE\cdot CH=BK\cdot BC+CK\cdot BC\)
\(=BC\cdot\left(BK+CK\right)=BC\cdot BC=BC^2\)(đpcm)
Hình tự vẽ nha:))
a) Xét ΔEHB và ΔDHC có:
∠BEH=∠CDH=90o
∠EHB=∠DHC(đối đỉnh)
Do đó, ΔEHB∼ΔDHC (gg).
b) Xét ΔHED và HBC có:
\(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)(ΔEHB∼ΔDHC)
∠DHE=∠BHC (đđ)
Do đó,ΔHED∼ΔHBC(cgc)
c) Xét ΔADB và ΔAEC có:
∠A chung
∠ADB=∠AEC=90o
Do đó, ΔADB∼ΔAEC(gg)
Xét ΔAED và ΔABC có:
∠A chung
\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(ΔADB∼ΔAEC)
Do đó, ΔAED∼ΔABC(cgc)
d) Vẽ HK⊥BC(K∈BC)
ΔBHK∼ΔBDC(gg)⇒\(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)⇔BK.BC=BH.BD
ΔCHK∼ΔCBE(gg)⇒\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)⇔CK.BC=CE.CH
⇒BC(BK+CK)=BH.BD+CE.CH
⇔BC2=BH.BD+CE.CH (đpcm)
Cho \(\Delta\)ABC có 3 góc nhọn (AB<AC).Kẻ các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.Chứng minh:
a) \(\Delta\)ABE đồng dạng với \(\Delta\)ACF
b) AF.AB=AE.AC
c) \(\Delta\)AEF đồng dạng với \(\Delta\)ABC
d) \(\Delta\)EBC đồng dạng với \(\Delta\)DAC
e) EH là phân giác của góc DEF
a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔABE∼ΔACF(g-g)
b) Ta có: ΔABE∼ΔACF(cmt)
nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)
c) Ta có: \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(cmt)
nên \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAEF∼ΔABC(c-g-c)
d) Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDAC vuông tại D có
\(\widehat{DCA}\) chung
Do đó: ΔEBC∼ΔDAC(g-g)
Cho \(\Delta\)ABC nhọn (AB<AC),các đường cao AD,BE,CH cắt nhau tại H.Chứng minh:
1)AE.AC=AF.AB
2)\(\Delta\)AEF đồng dạng \(\Delta\)ACB
3)\(\Delta\)FHE đồng dạng \(\Delta\)BHC
4)DH là phân giác của góc EDF
5)BF.BA+CE.CA=\(^{BC^2}\)
6)Gọi K là giao điểm của EF và BC.Chứng minh:KE.KF=KB.KC
3) Xét ΔFHB vuông tại F và ΔEHC vuông tại E có
\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{FH}{EH}=\dfrac{BH}{CH}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\dfrac{FH}{BH}=\dfrac{EH}{CH}\)
Xét ΔFHE và ΔBHC có
\(\dfrac{FH}{BH}=\dfrac{EH}{CH}\)(cmt)
\(\widehat{FHE}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔFHE\(\sim\)ΔBHC(c-g-c)
1) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔAEB∼ΔAFC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)(đpcm)
2) Ta có: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(cmt)
nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB(c-g-c)
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\). Vẽ tia phân giác \(\widehat{B}\) cắt AC tại D, vẽ tia phân giác \(\widehat{C}\) cắt AB tại E, BD cắt CE tại F. Chứng minh rằng:
a) BD = CE
b) \(\Delta BEF=\Delta CDF\)
c) AF là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)