\(x^2-2x-m^2+m-4=0\left(1\right)\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\Rightarrow\left(-2\right)^2-4.\left(-m^2+m-4\right)>0\)

\(\Rightarrow4+4m^2-4m+16>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+19>0\) (luôn đúng)

Vậy với \(\forall m\) thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-m^2+m-4\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left|3x_1\right|-\left|x_2\right|=6\left(2\right)\)

Ta thấy:\(-m^2+m-4=-\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{15}{4}=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{15}{4}\le-\dfrac{15}{4}< 0\)

\(\Rightarrow-m^2+m-4< 0\) hay \(x_1x_2< 0\). Do đó x₁, x₂ phải trái dấu.

Ta xét 2 trường hợp:

TH₁, x₁>0 , x₂<0. Khi đó:

\(\left(2\right)\Rightarrow3x_1+x_2=6\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)-6=-2x_1\left(1'\right)\) và \(3\left(x_1+x_2\right)-6=2x_2\left(2'\right)\)

Lấy (1') nhân cho (2') ta được:

\(\left[\left(x_1+x_2\right)-6\right]\left[3\left(x_1+x_2\right)-6\right]=-4x_1x_2\)

\(\Rightarrow\left(-2-6\right)\left[3.\left(-2\right)-6\right]=-4\left(-m^2+m-4\right)\)

\(\Leftrightarrow-m^2+m-4=-24\)

\(\Leftrightarrow m^2-m+4=24\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-4\end{matrix}\right.\)

TH₂: x₁<0 ; x₂>0. Khi đó:

\(\left(2\right)\Rightarrow3x_1+x_2=-6\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)+6=-2x_1\left(3'\right)\) và \(3\left(x_1+x_2\right)+6=2x_2\left(4'\right)\)

Lấy (3') nhân cho (4') ta được:

\(\left[\left(x_1+x_2\right)+6\right]\left[3\left(x_1+x_2\right)+6\right]=-4x_1x_2\)

\(\Rightarrow\left(-2+6\right)\left[3.\left(-2\right)+6\right]=-4\left(-m^2+m-4\right)\)

\(\Rightarrow m^2-m+4=0\) (phương trình vô nghiệm)
Thử lại ta có \(\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+7m^2=8m^2-2m+1=8\left(m-\frac{1}{8}\right)^2+\frac{7}{8}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Theo Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-2\left(m-1\right)}{7}\\x_1x_2=-\frac{m^2}{7}\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\frac{4\left(m-1\right)^2}{49}+\frac{2m^2}{7}=\frac{18m^2-8m+4}{7}\)

a: a*c=-m^2-3<=-3<0 với mọi m

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=3\)

=>\(\dfrac{x_2+x_1}{x_2x_1}=3\)

=>\(\dfrac{-2}{-m^2-3}=3\)

=>\(\dfrac{2}{m^2+3}=3\)

=>m^2+3=2/3

=>m^2=2/3-3=-7/3(vô lý)

Δ=(2m+2)^2-4(-m-5)

=4m^2+8m+4+4m+20

=4m^2+12m+24

=4(m^2+3m+6)

=4(m^2+2*m*3/2+9/4+15/4)

=4(m+3/2)^2+15>=15

=>PT luôn có 2 nghiệm

(x1-x2)^2-x1(x1+3)-x2(x2+3)=-4

=>(x1+x2)^2-4x1x2-(x1+x2)^2+2x1x2-3(x1+x2)=-4

=>-2(-m-5)-3(2m+2)=-4

=>2m+10-6m-6=-4

=>-4m+4=-4

=>-4m=-8

=>m=2

Pt có 2 nghiệm pb khi \(\Delta'=1-\left(m-3\right)>0\Rightarrow m< 4\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-2x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow2x_1-2x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=-6\)

Kết hợp \(x_1+x_2=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1-x_2=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=4\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=m-3\)

\(\Rightarrow m-3=-8\Rightarrow m=-5\) (thỏa mãn)

Δ=(2m-2)^2-4(m+1)

=4m^2-8m+4-4m-4

=4m^2-12m

Để phương trình co hai nghiệm thì 4m^2-12m>0

=>m>3 hoặc m<0

x1/x2+x2/x1=4

=>x1^2+x2^2=4x1x2

=>(x1+x2)^2-2x1x2=4x1x2

=>(2m-2)^2-6(m+1)=0

=>4m^2-8m+4-6m-6=0

=>4m^2-14m-2=0

=>\(m=\dfrac{7\pm\sqrt{57}}{2}\)