Chứng minh:
\(tan^2\left(x-a\right)+tan^2\left(x+a\right)=\frac{2\left(sin^22a+sin^22x\right)}{\left(cos2x+cos2a\right)^2}\)
Mọi người giúp em giải bài này ạ, em cảm ơn
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
A=\(\frac{\sin2x+\sin x}{1+\cos2x+\cos x}\)
B=\(cota\left(\frac{1+\sin^2a}{\cos a}-cosa\right)\)
C=\(\frac{1+\cos x+\cos2x+\cos3x}{2\cos^2x+\cos x-1}\)
D=\(\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cdot\tan\left(\pi-x\right)}{\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cdot\sin\left(\pi-x\right)}-2\cos x\)
E=\(\cos^2x\cdot\cot^2x+3\cos^2x-\cot^2x+2\sin^2x\)
\(F=\frac{\sin^2x+\sin^2x\tan^2x}{\cos^2x+\cos^2x\tan^2x}\)
\(G=\frac{1+cos2a-cosa}{2sina-sina}\)
H=\(sin^{^{ }4}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-cos^4\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+1\)
Bài 2: chứng minh
a) cho \(\Delta ABCchứngminhsin\frac{A+B}{2}=cos\frac{C}{2}\)
b) chứng minh biểu thức sau độc lập với biến x:
A=\(cosx+cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)\)
c)cho \(\Delta\) ABC chứng minh : sin A+sin B+ sin C= \(4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)
d)CMR: \(\frac{cos2a}{1+sin2a}=\frac{cosa-sina}{cosa+sina}\)
e) CMR:\(E=\frac{sin\alpha+cos\alpha}{cos^3\alpha}=1+tan\alpha+tan^2\alpha+tan^3\alpha\)
f) CMR \(\Delta\)ABC cân khi và chỉ khi \(sinB=2cosAsinC\)
g) CM: \(\frac{1-cosx+cos2x}{sin2x-sinx}=cotx\)
h)CM: \(\left(cos3x-cosx\right)^2+\left(sin3x-sinx\right)^2=4sin^2x\)
k) CMR trong tam giac ABC ta có: \(sin2A+sin2B+sin2C=4sinA\cdot sinB\cdot sinC\)
Bài 3: giải bất phương trình:
a)\(\frac{\left(1-3x\right)\left(2x^2+1\right)}{-2x^2-3x+5}>0\)
b)\(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\ge0\)
c)\(\frac{\left(3x-2\right)\left(x^2-9\right)}{x^2-4x+4}\le0\)
d)\(\frac{\left(2x^2+3x\right)\left(3-2x\right)}{1-x^2}\ge0\)
e)\(\frac{\left(x^2+2x+1\right)\left(x-1\right)}{3-x^2}\)
f)\(\frac{2x+1}{-x^2+x+6}\ge0\)
\(A=\frac{2sinx.cosx+sinx}{1+2cos^2x-1+cosx}=\frac{sinx\left(2cosx+1\right)}{cosx\left(2cosx+1\right)}=\frac{sinx}{cosx}=tanx\)
\(B=\frac{cosa}{sina}\left(\frac{1+sin^2a}{cosa}-cosa\right)=\frac{cosa}{sina}\left(\frac{1+sin^2a-cos^2a}{cosa}\right)=\frac{cosa}{sina}.\frac{2sin^2a}{cosa}=2sina\)
\(C=\frac{1+cos2x+cosx+cos3x}{2cos^2x-1+cosx}=\frac{1+2cos^2x-1+2cos2x.cosx}{cos2x+cosx}=\frac{2cosx\left(cosx+cos2x\right)}{cos2x+cosx}=2cosx\)
\(D=\frac{2sinx.cosx.\left(-tanx\right)}{-tanx.sinx}-2cosx=2cosx-2cosx=0\)
\(E=cos^2x.cot^2x-cot^2x+cos^2x+2cos^2x+2sin^2x\)
\(E=cot^2x\left(cos^2x-1\right)+cos^2x+2=\frac{cos^2x}{sin^2x}\left(-sin^2x\right)+cos^2x+2=2\)
\(F=\frac{sin^2x\left(1+tan^2x\right)}{cos^2x\left(1+tan^2x\right)}=\frac{sin^2x}{cos^2x}=tan^2x\)
Câu G mẫu số có gì đó sai sai, sao lại là \(2sina-sina?\)
\(H=sin^4\left(\frac{\pi}{2}+a\right)-cos^4\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)+1=cos^4a-sin^4a+1\)
\(=\left(cos^2a-sin^2a\right)\left(cos^2a+sin^2a\right)+1=cos^2a-\left(1-cos^2a\right)+1=2cos^2a\)
Bài 2:
\(sin\frac{A+B}{2}=sin\left(\frac{180^0-C}{2}\right)=sin\left(90^0-\frac{C}{2}\right)=cos\frac{C}{2}\)
b/
\(A=cosx+cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)=cosx+2cos\left(x+\pi\right).cos\frac{\pi}{3}\)
\(=cosx-2cosx.\frac{1}{2}=0\)
c/
\(sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}=2cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)
d/ \(\frac{cos2a}{1+sin2a}=\frac{cos^2a-sin^2a}{cos^2a+sin^2a+2sina.cosa}=\frac{\left(cosa-sina\right)\left(cosa+sina\right)}{\left(cosa+sina\right)^2}=\frac{cosa-sina}{cosa+sina}\)
e/
\(E=\frac{sina+cosa}{cos^3a}=\frac{1}{cos^2a}\left(tana+1\right)=\left(1+tan^2a\right)\left(tana+1\right)\)
\(E=tan^3a+tan^2a+tana+1\)
chứng minh rằng
1) \(tanx=\frac{1-cos2x}{sin2x}\)
2)\(\frac{sin\left(60^0-x\right).cos\left(30^{0^{ }}-x\right)+cos\left(60^{0^{ }}-x\right).sin\left(30^{0^{ }}-x\right)}{sin4x}=\frac{1}{2sin2x}\)
3) \(4cos\left(60^0+a\right).cos\left(60^0-a\right)+2sin^2a=cos2a\)
1/
\(tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{sin^2x}{sinx.cosx}=\frac{2sin^2x}{2sinx.cosx}\)
\(=\frac{2\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{sin2x}\)
2/
\(\frac{sin\left(60-x\right)cos\left(30-x\right)+cos\left(60-x\right)sin\left(30-x\right)}{sin4x}=\frac{sin\left(60-x+30-x\right)}{sin4x}=\frac{sin\left(90-2x\right)}{2sin2x.cos2x}\)
\(=\frac{cos2x}{2sin2x.cos2x}=\frac{1}{2sin2x}\)
3/
\(4cos\left(60+a\right)cos\left(60-a\right)+2sin^2a\)
\(=2\left(cos\left(60+a+60-a\right)+cos\left(60+a-60+a\right)\right)+2sin^2a\)
\(=2cos120+2cos2a+2\left(\frac{1-cos2a}{2}\right)\)
\(=-1+2cos2a+1-cos2a=cos2a\)
chứng minh đẳng thức lượng giác
a) \(\dfrac{1-cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{1-sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}\) - cot\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) . tan\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) = \(\dfrac{1}{sin^2x}\)
b) \(\left(\dfrac{1}{cos2x}+1\right)\).tan\(x\) = \(tan2x\)
Để chứng minh các định lượng đẳng cấp, ta sẽ sử dụng các công thức định lượng giác cơ bản và các quy tắc biến đổi đẳng thức. a) Bắt đầu với phương trình ban đầu: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * tan( π/2 - x) Ta biết rằng: cos^2(π/2 - x) = sin^2(x) (công thức lượng giác) sin^2(π/2 - x) = cos^2(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình ban đầu, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -cot(π/2 - x) * tan(π/ 2 - x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số lượng giác: cot(π/2 - x) = cos(π/2 - x) / sin(π/2 - x) = sin(x) / cos(x) = tan(x) (công thức lượng giác) tan(π/2 - x) = sin(π/2 - x) / cos(π/2 - x) = cos(x) / sin(x) = 1 / tan(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -tan(x) * (1/tan(x)) = -1 Vì vậy, ta đã chứng minh là đúng. b) Bắt đầu với phương thức ban đầu: (1/cos^2(x) + 1) * tan(x) = tan^2(x) Tiếp tục chuyển đổi phép tính: 1/cos^2(x) + 1 = tan^2(x) / tan(x) = tan(x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số giá trị lượng giác: 1/cos^2(x) = sec^2(x) (công thức) lượng giác) sec^2(x) + 1 = tan^2(x) + 1 = sin^2(x)/cos^2(x) + 1 = (sin^2(x) + cos^2(x) ))/cos^2(x) = 1/cos^2(x) Thay thế vào phương trình ban đầu, ta có: 1/cos^2(x) + 1 = 1/cos^2(x) Do đó, ta đã chứng minh được b)đúng.
chứng minh đẳng thức lượng giác
a) \(\dfrac{1-cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{1-sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}\)- cot\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\).tan\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)= \(\dfrac{1}{sin^2x}\)
b) \(\left(\dfrac{1}{cos2x}+1\right)\).tan\(x\) = tan\(2x\)
a) Để chứng minh đẳng thức: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * tan(π/2 - x) ta sẽ chứng minh cả hai phía bằng nhau. Bên trái: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = sin^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = sin^2(π/2 - x) / cos^2(π/2 - x) = (sin(π/2 - x) / cos(π/2 - x))^2 = (cos(x) / sin(x))^2 = cot^2(x) Bên phải: -cot(π/2 - x) * tan(π/2 - x) = -cot(π/2 - x) * (1 / tan(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * (cos(π/2 - x) / sin(π/2 - x)) = -(cos(x) / sin(x)) * (sin(x) / cos(x)) = -1 Vậy, cả hai phía bằng nhau và đẳng thức được chứng minh. b) Để chứng minh đẳng thức: (1 + cos^2(x)) * (1 + cot^2(x)) * tan(x) = tan^2(x) ta sẽ chứng minh cả hai phía bằng nhau. Bên trái: (1 + cos^2(x)) * (1 + cot^2(x)) * tan(x) = (1 + cos^2(x)) * (1 + (cos(x) / sin(x))^2) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * (1 + cos^2(x) / sin^2(x)) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * (sin^2(x) + cos^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * 1 / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (cos^2(x) + sin^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = 1 / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = tan^2(x) Bên phải: tan^2(x) Vậy, cả hai phía bằng nhau và đẳng thức được chứng minh.
Chứng minh rằng:
\(\frac{sin\left(x\right)+sin\left(\frac{x}{2}\right)}{1+cos\left(x\right)+cos\left(\frac{x}{2}\right)}=tan\left(\frac{x}{2}\right)\)
Ta có :
\(\frac{sinx+sin\left(\frac{x}{2}\right)}{1+cosx+cos\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{2sin\left(\frac{x}{2}\right).cos\left(\frac{x}{2}\right)+sin\left(\frac{x}{2}\right)}{2cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+cos\left(\frac{x}{2}\right)}\)
\(=\frac{sin\left(\frac{x}{2}\right)\left(2cos\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)}{cos\left(\frac{x}{2}\right)\left(2cos\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)}=\frac{sin\left(\frac{x}{2}\right)}{cos\left(\frac{x}{2}\right)}\)
\(=tan\left(\frac{x}{2}\right)\left(đpcm\right)\)
a/\(\sin3x+\cos2x=1+2\sin x\cos2x\)
b/\(\sin^3x+\cos^3x=2\left(\sin^5x+\cos^5x\right)\)
c/\(\dfrac{\tan x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
d/\(\dfrac{\cos x\left(\cos x+2\sin x\right)+3\sin x\left(\sin x+\sqrt{2}\right)}{\sin2x-1}=1\)
e/\(\sin^2x+\sin^23x-2\cos^22x=0\)
f/\(\dfrac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\dfrac{1}{\cos x}\)
g/\(\sin2x\left(\cos x+\tan2x\right)=4\cos^2x\)
h/\(\sin^2x+\sin^23x=\cos^2x+\cos^23x\)
k/\(4\sin2x=\dfrac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^6x+\sin^6x}\)
mọi người giải giúp em với em đang cần gấp ạ
Giải PT
a) \(\left|\sin x-\cos x\right|+\left|\sin x+\cos x\right|=2\)
b) \(\tan x-3\cot x=4\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)\)
c) \(2\sin^2x-2\sqrt{2}\sin x+3\tan^22x-2\sqrt{3}\tan2x+2=0\)
a) \(\left|sinx-cosx\right|+\left|sinx+cosx\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)^2+2\left|sinx-cosx\right|\left|sinx+cosx\right|+\left(cosx+sinx\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(sin^2x+cos^2x\right)+2\left|\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)\right|=4\)
\(\Leftrightarrow\left|sin^2x-cos^2x\right|=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2x-cos^2x=1\\sin^2x-cos^2x=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2x-cos^2x=sin^2x+cos^2x\\sin^2x-cos^2x=-\left(sin^2x+cos^2x\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos^2x=0\\sin^2x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\sinx=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow cosx.sinx=0\Rightarrow sin2x=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2},k\in Z\)
Vậy...
b) ĐK:\(x\ne\dfrac{k\pi}{2};k\in Z\)
Pt \(\Leftrightarrow\dfrac{sinx}{cosx}-\dfrac{3cosx}{sinx}=4\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{sin^2x-3cos^2x}{cosx.sinx}=4\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(sinx-\sqrt{3}cosx\right)\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)}{sinx.cosx}=4\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+\sqrt{3}cosx=0\left(1\right)\\\dfrac{sinx-\sqrt{3}cosx}{sinx.cosx}=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow tanx=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in Z\)
Từ (2)\(\Leftrightarrow sinx-\sqrt{3}cosx=4sinx.cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sinx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx=2sinx.cosx\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=sin2x\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in Z\right)\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\\x=\dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in Z\right)\)
c) ĐK: \(x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\)
Pt \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}sinx-1\right)^2+\left(\sqrt{3}tan2x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}sinx-1=0\\\sqrt{3}tan2x-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\tan2x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\\x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x\in\varnothing\)
Vậy pt vô nghiệm
Giải các PT sau:
1. \(\dfrac{\left(2\cos2x-1\right)\left(\sin x-3\right)}{\sin x}=0\)
2.\(\dfrac{3\left(\sin x+\cos x\right)}{\sin x-\cos x}=2+2\cos x\)
3.\(\dfrac{3\left(\sin x+\tan x\right)}{\tan x-\sin x}-2\cos x=2\)
4. \(1+\sin x+\cos x+\sin2x+\cos2x=0\)
5. \(2\sin x\left(1+\cos2x\right)+\sin2x=1+2\cos x\)
1.
ĐKXĐ: \(x\ne k\pi\)
\(\Leftrightarrow\left(2cos2x-1\right)\left(sinx-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=\dfrac{1}{2}\\sinx=3>1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\2x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\end{matrix}\right.\)
2. Bạn kiểm tra lại đề, pt này về cơ bản ko giải được.
3.
ĐKXĐ: \(x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)
\(\dfrac{3\left(sinx+\dfrac{sinx}{cosx}\right)}{\dfrac{sinx}{cosx}-sinx}-2cosx=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(1+cosx\right)}{1-cosx}+2\left(1+cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+cosx\right)\left(\dfrac{3}{1-cosx}+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-1\left(loại\right)\\cosx=\dfrac{5}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy pt đã cho vô nghiệm
4.
\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx\right)+\left(sinx+cosx\right)+\left(cos^2x-sin^2x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2+\left(sinx+cosx\right)+\left(sinx+cosx\right)\left(cosx-sinx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(sinx+cosx+1+cosx-sinx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\left(2cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cosx=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
giải các phương trình sau :
a) \(\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos2x\) ; b) \(\tan\left(2x+45^o\right)\tan\left(180^o-\frac{x}{2}\right)=1\) ; c) \(\cos2x-\sin^2x=0\) ; d) \(5\tan x-2\cot x=3\) ; e)
\(\sin2x+\sin^2x=\frac{1}{2}\) ; f) \(\sin^2\frac{x}{2}+\sin x-2\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\) ; g) \(\frac{1+\cos2x}{\cos x}=\frac{\sin2x}{1-\cos2x}\)
mai đăng lại bài này nhé t làm cho h đi ngủ