cho các ptrinh x2+bx+c =0(1)
x2+mx+n=0(2)
trong đó b,c,m,n là các số khác 0 biết b,c là các nghiệm của pt (2) và m,n là các nghiệm của pt (1)
cmr: b2+c2+m2+n2=10
Tìm các nghiệm của pt (ax^2+bx+c)(cx^2+bx+a)=0 biết a,b,c là các số hữu tỉ (a,c khác 0) và x=($\sqrt{2}$+1)^2 là một nghiệm của pt này
Với giá trị nào của m thì mỗi PT sau có nghiệm kép ? Tìm nghiệm kép đó?
a) mx2 + 2(m + 2) x + 9 = 0 b) x2 – 2(m - 4) x+( m2 + m + 3 ) = 0
c)( m + 1) x2 – m3x + m2 ( m – 1) = 0 d) (m + 3) x2 – mx +m = 0
a: \(\Leftrightarrow\left(2m+4\right)^2-4m\cdot9=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+16m+16-36m=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-5m+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-4\right)=0\)
hay \(m\in\left\{1;4\right\}\)
b: \(\Leftrightarrow\left(2m-8\right)^2-4\left(m^2+m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-32m+64-4m^2-4m-12=0\)
=>-36m+52=0
=>-36m=-52
hay m=13/9
d: \(\Leftrightarrow m^2-4m\left(m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(m-4m-12\right)=0\)
=>m(-3m-12)=0
=>m=0 hoặc m=-4
a) PT có nghiệm kép khi △=0
\(\Leftrightarrow\left[2\left(m+2\right)\right]^2-4.m.9=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(m^2+4m+4\right)-36m=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-20m+16=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=1\end{matrix}\right.\)
Khi đó nghiệm kép của pt là \(x_1=x_2=\dfrac{-2\left(m+2\right)}{2.m}=\dfrac{-2m-4}{2m}=-1-\dfrac{2}{m}\)
+Khi m=4 thì \(x_1=x_2=-1-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{3}{2}\)
+Khi m=1 thì \(x_1=x_2=-1-\dfrac{2}{1}=-3\)
Cho pt x^2-mx-1=0 a) chứng minh pt có 2 nghiệm trái dấu b) gọi x1,x2 là các nghiệm của pt 1 Tính giá trị của biểu thức P= x1^2+x1-1/x1 - x2^2+x2-1/x2
Cho phương trình \(x^2+bx+c=0\) (1) và phương trình x^2+mx+n=0 (2) (b;c;m;n\(\ne\)0). Cho biết b;c là 2 nghiệm của pt(2) và m;n là 2 nghiệm của pt(1). Chứng minh b^2+c^2+m^2+n^2=10
1, Cho pt: x2 - 5x + m - 4 = 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: (x12 - 4x1 + m - 2)x1 + x2(x2 + 2) = 23.
2, Cho pt: x2 + 6x + m + 7 = 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm âm phân biệt.
b) Tìm m để pt chỉ có 1 nghiệm.
c) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: (x22 + 7x2 + m + 4)x2 + x1.(x1 - 3) = 44.
3, Cho pt: x2 - mx + m - 1 = 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm khác nhau.
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt và cùng dấu. Khi đó pt có 2 nghiệm cùng dấu gì?
c) Tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: [ x12 - (m + 1)x1 + m + 4].[ x22 - (m+1).x2 + m + 4] = -4
Câu 2:
\(\Delta'=9-\left(m+7\right)=2-m\)
a/ Để pt có 2 nghiệm âm pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1+x_2< 0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-m>0\\-6< 0\\m+7>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-7< m< 2\)
b/ Để pt chỉ có 1 nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta'=0\Rightarrow2-m=0\Rightarrow m=2\)
c/ Do \(x_2\) là nghiệm của pt nên:
\(x_2^2+6x_2+m+7=0\) \(\Leftrightarrow x_2^2+7x_2+m+4=x_2-3\)
Thay vào bài toán:
\(\left(x_2-3\right)x_2+\left(x_1-3\right)x_1=44\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-3\left(x_1+x_2\right)=44\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)=44\)
\(\Leftrightarrow36-2\left(m+7\right)+18=44\)
\(\Leftrightarrow2m=-4\Rightarrow m=-2\)
Câu 3:
\(a+b+c=1-m+m-1=0\)
Do vai trò của 2 nghiệm ở cả 3 cau a;b;c đều như nhau, phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
a/ Để 2 nghiệm khác nhau \(\Leftrightarrow m-1\ne1\Rightarrow m\ne2\)
b/ Do \(x_1>0\) nên để pt có 2 nghiệm pb cùng dấu
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=m-1>0\\m\ne2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
Hai nghiệm cùng dương
c/ Do \(x_1;\) \(x_2\) là nghiệm nên \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-mx_1+m-1=0\\x_2^2-mx_2+m-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-\left(m+1\right)x_1+m+4=-x_1+5\\x_2^2-\left(m+1\right)x_2+m+4=-x_2+5\end{matrix}\right.\)
Thay vào bài toán:
\(\left(-x_1+5\right)\left(-x_2+5\right)=-4\)
\(\Leftrightarrow\left(-1+5\right)\left(1-m+5\right)=-4\)
\(\Leftrightarrow6-m=-1\Rightarrow m=7\)
Bài 1: Cho pt x2 + 13x -1 = 0 (1). Không giải pt, hãy lập một pt bậc hai có các nghiệm y1, y2 lớn hơn nghiệm của pt (1) là 2.
Bài 2: Cho pt x2 - 5x + 6 = 0 (1). Không giải pt, hãy lập pt bậc hai có các nghiệm y1 và y2 là:
a/ Số đối các nghiệm của pt (1).
b/ Nghịch đảo các nghiệm của pt (1).
2:
a: y1+y2=-(x1+x2)=-5
y1*y2=(-x1)(-x2)=x1x2=6
Phương trình cần tìm có dạng là;
x^2+5x+6=0
b: y1+y2=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=5/6
y1*y2=1/x1*1/x2=1/x1x2=1/6
Phương trình cần tìm là:
a^2-5/6a+1/6=0
Bài 1: Cho pt x2 -2mx +2m -1=0
a) chứng tỏ pt luôn có nghiệm với mọi m
b) Goị x1,x2 là 2 nghiệm của pt .Tìm m để (x1 +x2 )2 =x1x2 +7
Bài 2 :Cho pt x2 - 2(m-2)x -8 = 0
a) chứng tỏ pt luôn có 2 nghiệm với mọi m
b) Tìm m để 2 nghiệm x1,x2 của pt thỏa : x13+ x23-4x1 -4x2=0
Bài 2:
a: \(a=1;b=-2\left(m-2\right);c=-8\)
Vì ac<0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
b: Theo Vi-et, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)=2m-4\\x_1x_2=-8\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1^3+x_2^3-4x_1-4x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-4\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-4\right)^3-3\cdot\left(2m-4\right)\cdot\left(-8\right)-4\cdot\left(2m-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-4\right)\left[4m^2-16m+16+24-4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-4\right)\left(4m^2-16m+36\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2m-4=0\)
hay m=2
Bài 1: Cho pt ẩn x:
x2 - 2(m + 1)x + m2 + 7 = 0 (1)
a) Giải pt (1) khi m = -1; m = 3.
b) Tìm m để pt (1) có nghiệm là 4. Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa:
* x12 + x22 = 0
* x1 - x2 = 0
Bài 2: Cho pt ẩn x:
x2 - 2x - m2 - 4 = 0 (1)
a) Giải pt (1) khi m = -2.
b) Tìm m để pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
* x12 + x22 = 20
* x13 + x23 = 56
* x1 - x2 = 10
Bài 1:
a, Thay m=-1 vào (1) ta có:
\(x^2-2\left(-1+1\right)x+\left(-1\right)^2+7=0\\
\Leftrightarrow x^2+1+7=0\\
\Leftrightarrow x^2+8=0\left(vô.lí\right)\)
Thay m=3 vào (1) ta có:
\(x^2-2\left(3+1\right)x+3^2+7=0\\ \Leftrightarrow x^2-2.4x+9+7=0\\ \Leftrightarrow x^2-8x+16=0\\ \Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x-4=0\\ \Leftrightarrow x=4\)
b, Thay x=4 vào (1) ta có:
\(4^2-2\left(m+1\right).4+m^2+7=0\\ \Leftrightarrow16-8\left(m+1\right)+m^2+7=0\\ \Leftrightarrow m^2+23-8m-8=0\\ \Leftrightarrow m^2-8m+15=0\\ \Leftrightarrow\left(m^2-3m\right)-\left(5m-15\right)=0\\ \Leftrightarrow m\left(m-3\right)-5\left(m-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m-5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=5\end{matrix}\right.\)
c, \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(m^2+7\right)=m^2+2m+1-m^2-7=2m-6\)
Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow2m-6\ge0\Leftrightarrow m\ge3\)
Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2+7\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=0\\ \Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-2\left(m^2+7\right)=0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-2m^2-14=0\\ \Leftrightarrow2m^2+8m-10=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(ktm\right)\\m=-5\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(x_1-x_2=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=0\\ \Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+7\right)=0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-4m^2-28=0\\ \Leftrightarrow8m=28=0\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\left(tm\right)\)
Bài 2:
a,Thay m=-2 vào (1) ta có:
\(x^2-2x-\left(-2\right)^2-4=0\\ \Leftrightarrow x^2-2x-4-4=0\\ \Leftrightarrow x^2-2x-8=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\)
b, \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(-m^2-4\right)\ge0=m^2+m^2+4=2m^2+4>0\)
Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2-4\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=20\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\\ \Leftrightarrow2^2-2\left(-m^2-4\right)=20\\ \Leftrightarrow4+2m^2+8-20=0\\ \Leftrightarrow2m^2-8=0\\ \Leftrightarrow m=\pm2\)
\(x_1^3+x_2^3=56\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=56\\ \Leftrightarrow2^3-3\left(-m^2-4\right).2=56\\ \Leftrightarrow8-6\left(-m^2-4\right)-56\\ =0\\ \Leftrightarrow8+6m^2+24-56=0\\ \Leftrightarrow6m^2-24=0\\ \Leftrightarrow m=\pm2\)
\(x_1-x_2=10\\ \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=100\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-100=0\\ \Leftrightarrow2^2-4\left(-m^2-4\right)-100=0\\ \Leftrightarrow4+4m^2+16-100=0\\ \Leftrightarrow4m^2-80=0\\ \Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{5}\)
Giả sử phương trình x^2+mx+n+1=0 có các nghiệm x1,x2 là các số nguyên khác 0. Chứng minh m^2 +n^2 là 1 hợp số