Phương trình hoành độ giao điểm \(\left(d_1\right)\) và \(\left(d_2\right)\):

\(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}=2x+1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\Rightarrow y=\dfrac{7}{5}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\) là giao điểm của d1 và d2

Ba đường thẳng đồng quy khi \(\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\in\left(d_3\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m}{5}+\dfrac{7}{5}=m+1\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}\)

Vì \(a.a'=-\dfrac{1}{2}.2=-1\Rightarrow\left(d_1\right)\perp\left(d_2\right)\)

Gọi B, C lần lượt là giao điểm của \(\left(d_1\right);\left(d_2\right)\) với \(\left(d_3\right)\)

​\(\Rightarrow\)​ \(\left(d_3\right)\) cắt \(\left(d_1\right)\) và \(\left(d_2\right)\) tạo thành 1 tam giác vuông tại A

\(\Leftrightarrow\) \(A\notin\left(d_3\right)\) và \(\left(d_3\right)\) không song song với \(\left(d_1\right)\) và \(\left(d_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{2}{3}\\-\dfrac{1}{2}\ne-2m\\2\ne-2m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{2}{3}\\m\ne\dfrac{1}{4}\\m\ne-1\end{matrix}\right.\)

PTHĐ GĐ ................

Gọi A (x;y) là giao điểm của d, d1 và d2. tọa độ giao điểm điểm của A là nghiệm của hpt :  d và d1.    ( giải được nghiệm x, y sẽ chứa tham số m ), nếu có m ở mẫu thì tìm đk của xác định của m nhé

sau đó thay tọa độ A tìm được vào d2 sẽ tìm ra m .

Ta có (d₁) : \(mx+y=1\)

=> \(y=1-mx\)

Ta có (d₂) : \(x-my=m+6\)

=> \(y=\frac{x-m-6}{m}\)( I )

- Xét phương trình hoành độ giao điểm :

\(1-mx=\frac{x-m-6}{m}\)

=> \(m-m^2x=x-m-6\)

=> \(-m^2x-x=-m-6-m\)

=> \(x\left(-m^2-1\right)=-2m-6\)

=> \(x=\frac{2m+6}{m^2+1}\)

- Thay \(x=\frac{2m+6}{m^2+1}\) vào phương trình ( I ) ta được :

\(y=\frac{\frac{2m-6}{m^2+1}-m-6}{m}\)

- Thay \(y=\frac{\frac{2m-6}{m^2+1}-m-6}{m}\); \(x=\frac{2m+6}{m^2+1}\) vào đường thẳng (d) ta được :

\(\frac{2m+6}{m^2+1}+\frac{2\left(\frac{2m-6}{m^2+1}-m-6\right)}{m}=8\)

=> \(\frac{m\left(2m+6\right)}{m\left(m^2+1\right)}+\frac{2\left(\frac{2m-6}{m^2+1}-m-6\right)\left(m^2+1\right)}{m\left(m^2+1\right)}=8\)

=> \(\frac{m\left(2m+6\right)}{m\left(m^2+1\right)}+\frac{\frac{\left(4m-12\right)\left(m^1+1\right)}{m^2+1}-2m\left(m^2+1\right)-12\left(m^2+1\right)}{m\left(m^2+1\right)}=8\)

=> \(\left(4m-12\right)-2m\left(m^2+1\right)-12\left(m^2+1\right)+m\left(2m+6\right)=8m\left(m^2+1\right)\)

=> \(4m-12-2m^3-2m-12m^2-12+2m^2+6m=8m^3+8m\)

=> \(10m^3+10m^2+24=0\)

=> \(m^3+m^2+\frac{12}{5}=0\)

=> \(m\approx-1,76\)

Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung Oy thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-1< >m\\2m-5=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=4\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d_1\right);\left(d_2\right)\):

\(4-x=2x-5\)

\(\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=1\Rightarrow\left(3;1\right)\) là giao điểm của \(\left(d_1\right);\left(d_2\right)\)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi \(\left(3;1\right)\in\left(d_3\right)\)

\(\Leftrightarrow6-m-2m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\)