Cho a, b, c > 0 thỏa amxn 1/a+1/b+1/c = 11/(a+b+c). Tìm giá trị nhỏ nhất của: (a^2+b^2+c^2)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)
Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :
\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .
Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :
\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .
Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Bài 5: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :(x+y)2+7.(x+y)+y2+10=0 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức : \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
Bài 7 : CHo các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức :
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\times\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho
đăng từng này thì ai làm cho
We have \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^4+2x^2+1+1}{x^2+1}\)
\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2+1}{x^2+1}\)
\(=\left(x^2+1\right)+\frac{1}{x^2+1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+1}}=2\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=0\))
Vậy \(P_{min}=2\Leftrightarrow x=0\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = a + b + c + ab + bc + ca , với a, b, c thuộc R
thỏa mãn: a^2 +b^2 +c^2 =3.
\(A=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
\(A=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c+1\right)^2-2\ge-2\)
\(A_{min}=-2\) khi \(a+b+c=-1\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn điều này)
Với mọi a;b;c ta luôn có:
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow12\ge2A\)
\(\Rightarrow A\le6\)
\(A_{max}=6\) khi \(a=b=c=1\)
Bài 1 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = l x - 2 l + 5
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 12 - l x + 4 l
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C = (căn bậc hai x) + 1
cho 3 số a, b, c thỏa mãn: \(0\le a\le b+1\le c+2\) và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c
Từ \(a\le b+1\le c+2\Rightarrow a+b+1+c+2\le3\left(c+2\right)\)\(\Rightarrow a+b+c+3\le3c+6\)
Mà a+b+c=1
\(\Rightarrow4\le3c+6\)
\(\Rightarrow-2\le3c\)
\(\Rightarrow c\ge-\frac{2}{3}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(c=\frac{-2}{3}\)
Vậy c nhỏ nhất khi \(c=\frac{-2}{3}\)
1:Tìm GTNN x^2+y^2 biết :(x^2-y^2+1)+4x^2y^2-x^2-y^2=0
2:Cho a nhỏ hơn hoặc =a,b,c nhỏ hơn hoặc =1.Tìm GTNN,GTLN của biểu thức:P=a+b+c-ab-bc-ca
3:cho các số thực nguyên thỏa mãn điều kiện :x^2+y^2+z^2 nhỏ hơn hoặc = 27.Tìm giá trị nhỏ nhất ,GTLN x+y+z+xy+yz+zx
4: cho x,y dương thỏa mãn dk: x+y=1.Tìm GTNN:M=(x+1/x)+(y+1/y)
Xét các số thực dương a, thỏa mãn a+b=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a^2 +b
\(a+b=1\Leftrightarrow b=1-a\\ \Leftrightarrow P=a^2+1-a=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\\ P_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
Cho các số thức dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\)
Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức;
\(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\)
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta được
\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}\)
=> \(a^3+2\ge3a\)
Áp dụng tương tự có
\(ab+1\ge2\sqrt{ab.1}\)
=>\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)
=>\(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3a}{2\sqrt{ab}}\)
=> \(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a}{b}}\)
Chứng minh tương tự thì Q\(\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)\)
Áp dụng cô si lần nữa thì \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\ge\sqrt{\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}}=1\)
=>Q\(\ge\frac{3}{2}\)
Min Q=3/2.
#)Mất công lắm tui ms tìm đc cách bải này đấy, xin đừng cho ăn gạch đá :v
Ta có (a^3+2)/(ab+1) = 1/2.(2a^3+4)/(ab+1)
Mà 2a^3+4= (a^3+a^3+1) +3
Mặt khác theo BĐT CBS ta có a^3+a^3+1≥ 3a^2
=>2a^3 +4≥ 3(a^2+1)
Tương tự với (b^3 + 2)/(bc + 1) và (c^3 + 2)/(ca + 1)
=>Q ≥ 3/2[(a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1)]
Theo BĐT CBS=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3.căn bặc ba của [(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]
Mà theo bất đẳng thức bunhicốpxki
=>(a^2+1)(b^2+1)≥(ab+1)^2
(b^2+1)(c^2+1)≥(bc+1)^2
(c^2+1)(a^2+1)≥(ac+1)^2
=>[(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]≥1
=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3
=> Q ≥9/2
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
P/s : trả công ( đùa tí :P )
#~Will~be~Pens~#
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C=-/2-3x/+phân số 1/2
D=-3-/2x+4/
A=7-3x căn bậc hai của x-3
Tìm giá trị lớn nhất
A=3x/1-2x/-5
B=(2x^2+1)^4-3
C=/x-phân số 1/2/+(y+2)^2+11
D=căn bậc hai của 2x-3 rồi cộng 5