cho x,y là các số thực thoả mãn \(2x^2-xy+y^2=1.\)Tìm GTNN của biểu thức \(M=x^2-xy+y^2\)
Cho các số thực dương x,y thoả mãn: (x+y-1)^2= xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1/xy + 1/x^2+y^2 + căn(xy)/x+y
Với x,y là các số thực thỏa mãn 1≤y≤2; xy+2≥2y
Tìm GTNN của biểu thức M=\(\frac{x^2+4}{y^2+1}\)
mình làm cho bạn 2 cách nha
Cách 1 )
ta có \(1\le y\le2\Leftrightarrow\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{1}{2x+3}\)
ta có \(xy+2\ge2y\Leftrightarrow x\ge\frac{2\left(y-1\right)}{y}\ge0\)
ta có \(M=\frac{x^2+4}{y^2+1}=\left(x^2+4\right).\frac{1}{y^2+1}\ge\left(2x+3\right).\frac{1}{2x+3}=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)
zậy \(minM=\frac{x^2+4}{y^2+1}khi\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)
cách 2)
ta có \(1\le y\le2;xy+2\ge2y\Leftrightarrow4xy+8\ge8y;4x^2+y^2+8\ge4xy+8\)
từ đó ta có
\(4\left(x^2+4\right)\ge-y^2+8+8y=4\left(y^2+1\right)+\left(5y+2\right)\left(2-y\right)\ge4\left(x^2+1\right)\Rightarrow M=1\)
zậy kết luận như cách 1
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 24. Tìm GTNN của biểu thức
\(M=\dfrac{xyz+2\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}\)
Cho các số thực x và y thoả mãn điều kiện x^2+y^2=2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3(x+y)+xy
\(P=\dfrac{6x+6y+2xy}{2}=\dfrac{6x+6y+2xy+10-10}{2}\)
\(=\dfrac{6x+6y+2xy+2\left(x^2+y^2\right)+6}{2}-5\)
\(=\dfrac{\left(x+y+2\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-5\ge-5\)
\(P_{min}=-5\) khi \(x=y=-1\)
cho các số thực x và y thoả mãn điều kiện x^2+y^2=2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 3(x+y)+xy
Cho x,y là các số thực dương bất kì thoả mãn điều kiệu x+y=1
Tìm GTNN của biểu thức A=2X*2-y*2+x+1\x+1
Cho các số thực x,y ≥ 0 thoả mãn xy = 1 .Tìm GTNN của biểu thức P= √7x2+18xy+39y2 + √39x2+ 18xy +7y2
\(P=\sqrt{4x^2+36y^2+24xy+3x^2+3y^2-6xy}+\sqrt{36x^2+4y^2+24xy+3x^2+3y^2-6xy}\)
\(P=\sqrt{\left(2x+6y\right)^2+3\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(6x+2y\right)^2+3\left(x-y\right)^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(2x+6y\right)^2}+\sqrt{\left(6x+2y\right)^2}=8\left(x+y\right)\ge16\sqrt{xy}=16\)
\(P_{min}=16\) khi \(x=y=1\)
cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn XY = 2. Tìm GTNN của biểu thức \(M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5}{16}\left(2x+y\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3}{16}.3}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y = 2.
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(M=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5\left(2x+y\right)}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(2x+y\right)}{16\left(2x+y\right)}}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
Ta có: \(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)
Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)
Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1, y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 <=> x=1;y=2
Cho hai số dương x,y thay đổi thỏa mãn xy=2. Tìm GTNN của biểu thức M=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{2x+y}\)
Ta có:
\(M=\dfrac{2x+y}{xx}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)
Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)
Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y,xy=2\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1,y=2\)
Vậy GTNN của M là \(\dfrac{11}{4}\Leftrightarrow x=1,y=2\)