\(C=2sin3x.cos3x.\frac{cos3x}{sin3x}-\left(cos^23x-sin^23x\right)\)

\(=2cos^23x-cos^23x+sin^23x=cos^23x+sin^23x=1\)

\(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(sinx.sin\frac{\pi}{4}-cosx.cos\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

Câu này bạn ghi nhầm đề (lưu ý rằng \(sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))

Câu 2b bạn cũng xem lại đề, chắc chắn ko đúng

\(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)

Câu 3 bạn cũng ghi sai đề luôn

Trong 1 ngày đẹp trời thì câu 4 cũng sai luôn cho đỡ lạc lõng đồng đội:

\(sin\left(a+b-b\right)=sin\left(a+b\right)cosb-cos\left(a+b\right)sinb=2sin\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\left(a+b\right)\left[cosb-2\right]=cos\left(a+b\right).sinb\)

\(\Leftrightarrow\frac{sin\left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}=\frac{sinb}{cosb-2}\Leftrightarrow tan\left(a+b\right)=\frac{sinb}{cosb-2}\)

4 câu bạn ghi đúng đề bài duy nhất câu 1, kinh thiệt :(

a) Kẻ  \(CE\perp AB\)

Ta có :  \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CE.AB\left(1\right)\)

Xét  \(\Delta ACE\)có  \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}AB.EC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\left(đpcm\right)\)

b) Kẻ  \(BD\perp AC\)

Xét  \(\Delta ADB\)có  \(\sin A=\frac{BD}{AB}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{BD}{AB}=\frac{BC.AB}{BD}\left(3\right)\)

Lại có :  \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)( câu a )

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{EC}{AC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(4\right)\)

Xét  \(\Delta BEC\)có  \(\sin B=\frac{EC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=CA\div\frac{EC}{BC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(5\right)\)

Xét  \(\Delta BDC\)có  \(\sin C=\frac{DB}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=AB\div\frac{DB}{BC}=\frac{AB.BC}{DB}\left(6\right)\)

Từ (3) ; (4) ; (5) và (6)  \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)

c) Xét  \(\Delta ABD\)có  \(\cos A=\frac{AD}{AB}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta ABD\)vuông tại D ta được :

\(AB^2=BD^2+AD^2\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta BDC\)vuông tại D ta được :

\(BD^2+DC^2=BC^2\)

Ta có :  \(b^2+c^2-2bc.\cos A\)

\(=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\)

\(=BD^2+AD^2+AC^2-2AB.AC.\frac{AD}{AB}\)

\(=BD^2+\left(AC^2-2AD.AC+AD^2\right)\)

\(=BD^2+\left(AC-AD\right)^2\)

\(=BD^2+DC^2\)

\(=BC^2=a\left(đpcm\right)\)

Kẻ đg cao BH

a) + \(sinA=\frac{BH}{AB}=\frac{BH}{c}\)

+ \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BH\cdot AC=\frac{BH\cdot AC\cdot AB}{2AB}\)

\(=\frac{bc\cdot sinA}{2}\)

b) + \(sinC=\frac{BH}{BC}=\frac{BH}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{sinA}{sinC}=\frac{\frac{BH}{c}}{\frac{BH}{a}}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}\)

+ Tương tự : \(\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)

Do đó: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

.jkilfo,o7m5ijk

 Ta có $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin 5\alpha -2\sin \alpha .\cos 4\alpha -2\sin \alpha .\cos 2\alpha$

$=\sin 5\alpha -\left(\sin 5\alpha -\sin 3\alpha \right)-\left(\sin 3\alpha -\sin \alpha \right)$

$=\sin \alpha .$

Vậy $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin \alpha$

\(\frac{cos\left(a-b\right)}{sin\left(a+b\right)}=\frac{cosa.cosb+sina.sinb}{sina.cosb+cosa.sinb}=\frac{\frac{cosa.cosb}{sina.sinb}+1}{\frac{sina.cosb}{sina.sinb}+\frac{cosa.sinb}{sina.sinb}}=\frac{cota.cotb+1}{cota+cotb}\)

Bạn ghi đề ko đúng

\(sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left[cos2b-cos2a\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[1-2sin^2b-1+2sin^2a\right]\)

\(=sin^2a-sin^2b\)

\(=1-cos^2a-1+cos^2b=cos^2b-cos^2a\)

Câu này bạn cũng ghi đề ko đúng

\(cos\left(a+b\right)cos\left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left[cos2a+cos2b\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[2cos^2a-1+1-2sin^2b\right]=cos^2a-sin^2b\)

\(=1-sin^2a-1+cos^2b=cos^2b-sin^2a\)

a/ \(\frac{A}{2}+\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=90^0\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\)

b/ \(\frac{tan^2A-tan^2B}{1-tan^2A.tan^2B}=\frac{\left(tanA-tanB\right)}{\left(1+tanA.tanB\right)}.\frac{\left(tanA+tanB\right)}{\left(1-tanA.tanB\right)}=tan\left(A-B\right).tan\left(A+B\right)\)

\(=tan\left(A-B\right).tan\left(180^0-C\right)=-tan\left(A-B\right).tanC\)

c/

\(A+B+C=180^0\Rightarrow cot\left(A+B\right)=-cotC\)

\(\Leftrightarrow\frac{cotA.cotB-1}{cotA+cotB}=-cotC\)

\(\Leftrightarrow cotA.cotB-1=-cotA.cotC-cotB.cotC\)

\(\Leftrightarrow cotA.cotB+cotB.cotC+cotA.cotC=1\)

a) Do A + B + C = 180 độ nên góc A bù với góc B + C => sin(B + C) = sinA (sin hai góc bù bằng nhau)

 (A + B)/2 + C/2 = 90 độ => hai góc (A + B)/2 và C/2 là hai góc phụ nhau => cos (A + B)/2 = sin(C/2) (Chắc đề bài bạn cho nhầm thành sinC)

b) Bạn xem lại đề nhé

c) \(sin^6a+cos^6a+3sin^2a.cos^2a=\left(sin^2a\right)^3+\left(cos^2a\right)^3+3.sin^2a.cos^2a\)

   = \(\left(sin^2a+cos^2a\right)\left(sin^4a+cos^4a-sin^2a.cos^2a\right)+3sin^2a.cos^2a\)

= \(sin^4a+cos^4a+2sin^2a.cos^2a\)

= \(\left(sin^2a+cos^2a\right)^2=1\)

a: giả sử cot A+cot(B+C)=0

=>cot A=cot(-B-C)

=>A=-B-C+180 độ

=>góc A+góc B+góc C=180 độ(đúng)

b: Giả sử sin A=-sin(2A+B+C)

=>sinA=sin(-2A-B-C)

=>A=-2A-B-C+k*360 độ hoặc A=180 độ+2A+B+C+k*360 độ

=>-A-B-C=-180 độ

=>góc A+góc B+góc C=180 độ

=>Đúng

c: Giả sử cos C=-cos(A+B+2C)

=>cosC=cos(180 độ-góc A-góc B-2*góc C)

=>góc C=180 độ-góc A-góc B-2*góc C+k*360 độ hoặc góc C=-180 độ+góc A+góc B+2*góc C+k*360 độ

=>3*góc C+góc A+góc B=180 độ(loại) hoặc góc A+góc B+góc C=180 độ+k*360 độ

=>góc A+góc B+góc C=180 độ(đúng)