1.

ĐKXĐ: \(x=2\)

Xét \(x=2\), bất phương trình vô nghiệm

\(\Rightarrow\) bất phương trình đã cho vô nghiệm

\(\Rightarrow\) Không tồn tại \(a,b\) thỏa mãn

Đề bài lỗi chăng.

ĐKXĐ: \(\frac{2}{3}\le x\le5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+7}\ge\sqrt{5-x}+\sqrt{3x-2}\)

\(\Leftrightarrow2x+7\ge2x+3+2\sqrt{-3x^2+17x-10}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-3x^2+17x-10}\le2\)

\(\Leftrightarrow-3x^2+17x-10\le4\)

\(\Leftrightarrow3x^2-17x+14\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le1\\x\ge\frac{14}{3}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp ĐKXĐ: \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{2}{3}\le x\le1\\\frac{14}{3}\le x\le5\end{matrix}\right.\)

`sqrt{x-2}-2>=sqrt{2x-5}-sqrt{x+1}`

`đk:x>=5/2`

`bpt<=>\sqrt{x-2}+\sqrt{x+1}>=\sqrt{2x-5}+2`

`<=>x-2+x+1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-5+4+4\sqrt{2x-5}`

`<=>2x-1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-1+4\sqrt{2x-5}`

`<=>2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=4\sqrt{2x-5}`

`<=>sqrt{x^2-x-2}>=2sqrt{2x-5}`

`<=>x^2-x-2>=4(2x-5)`

`<=>x^2-x-2>=8x-20`

`<=>x^2-9x+18>=0`

`<=>(x-3)(x-6)>=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 3\end{array} \right.\) 

Kết hợp đkxđ:

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\\dfrac52 \le x \le 3\end{array} \right.\) 

a/ ĐKXĐ \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow2x+1+2\sqrt{x^2+x-2}< 3x+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+x-2}< x+2\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^2+x-2\right)< \left(x+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2< 12\Leftrightarrow x^2< 4\Rightarrow-2< x< 2\)

Vậy nghiệm của BPT là \(1\le x< 2\)

b/ ĐKXĐ: \(x\ge3\)

\(\Leftrightarrow3x-2+2\sqrt{2x^2-5x-3}< 5x-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-5x-3}< x-1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5x-3< x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-4< 0\Rightarrow-1< x< 4\)

\(\Rightarrow3\le x< 4\)

c/ ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow3x+1+2\sqrt{2x^2+3x-2}\ge6x-1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+3x-2}\ge3x-2\)

- Với \(\frac{1}{2}\le x< \frac{2}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(x\ge\frac{2}{3}\) hai vế ko âm

\(\Leftrightarrow4\left(2x^2+3x-2\right)\ge\left(3x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-24x+12\le0\) \(\Rightarrow\frac{2}{3}\le x\le12+2\sqrt{33}\)

Nghiệm của BPT là \(\frac{1}{2}\le x\le12+2\sqrt{33}\)

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x^2+1\right)}}-\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}\left(\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x}}-1\right)+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x}}.\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\) (luôn đúng \(\forall x>0\))

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(x>0\)