Đề giả thiết cho như vậy hay là \(a^3+b^3+6ab\le8???\)

Đề cho như vậy. (Đề đúng rồi đấy)

Ta có \(a^3+b^3+8ab\le10\)

Áp dụng cosi ta có \(a^3+b^3+1\ge3ab\)

=> \(11ab\le11\)=> \(ab\le1\)

+  \(a^3+a^3+1\ge3a^2\);  \(b^3+b^3+1\ge3b^2\)

=> \(2a^3+2b^3+2\ge3\left(a^2+b^2\right)\)

=> \(a^3+b^3\ge\frac{3\left(a^2+b^2\right)-2}{2}\)

=> \(3\left(a^2+b^2\right)+16ab\le22\)

=> \(P\ge\frac{3}{22-16ab}+\frac{5}{ab}+3ab=\left(\frac{3}{22-16ab}+\frac{22-16ab}{12}\right)+5\left(\frac{1}{ab}+ab\right)-\frac{22}{12}-\frac{2}{3}ab\)

=> \(P\ge2\sqrt{\frac{3}{12}}+5.2-\frac{22}{12}-\frac{2}{3}.1\)

=> \(P\ge\frac{17}{2}\)

Vậy MinP=17/2  khi a=b=1

Nguyễn Việt Lâm

Phạm Thị Diệu Huyền

Nguyễn Chí Thành

Nguyễn Thị Vân

Akai Haruma

Em học Bât đẳng thức Bunhia chưa?

\(A^2=\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)=25.4\)

=> \(A\le10\)

"=" xaye ra <=> \(\frac{\sqrt{a-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-a}}{4}\Rightarrow\frac{a-1}{9}=\frac{5-a}{16}=\frac{a-1+5-a}{9+16}=\frac{4}{25}\)( dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(a=1+\frac{9.4}{25}=\frac{61}{25}\) ( tm)

Vậy:...

\(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)(1)

<=> \(9a-9+80-16a+24\sqrt{-a^2+6a-5}\le100\)

<=> \(24\sqrt{-a^2+6a-5}\le29+7a\)

<=> \(-576a^2+3456a-2880\le841+406a+49a^2\)

<=> \(625a^2-3050a+3721\ge0\)

<=> \(\left(25a-61\right)^2\ge0\)đúng với mọi  \(1\le a\le5\)

Vậy (1) đúng với mọi a sao cho \(1\le a\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 61/25

Với \(1\le a\le5\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)=4\cdot25=100\)

\(\Rightarrow3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)

=> đpcm

Cách khác:

Áp dụng bđt Bunhiacopski, ta được:

\(\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)\)

\(=25.4=100\)

\(\Rightarrow3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)

Dấu "=" khi  \(a=\frac{61}{25}\)

\(\left(a-1+5-a\right)\left(3^2+4^2\right)\ge\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\Leftrightarrow4.25=100\ge\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\Rightarrow10^2\ge\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\Rightarrow10\ge3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\left(dpcm\right)\)

Lời giải:

\(A\setminus B = \left\{0\right\}\cup (10;+\infty)\)

A=[10;+\(\infty\))

B=(0;10]

A\B=(10;+\(\infty\))