AB vuông góc CH nên nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(1\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

B là giao điểm BN và AB nên tọa độ thỏa mãn: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y+5=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-8;11\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng A qua BN \(\Rightarrow D\in BC\)

Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc BN (nên nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt) có dạng:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+3=0\)

Gọi E là giao điểm d và BN \(\Rightarrow E\) là trung điểm AD

Tọa độ E là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y+5=0\\x-2y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(-\dfrac{13}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)

\(\Rightarrow D\left(-\dfrac{31}{5};-\dfrac{8}{5}\right)\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\left(\dfrac{9}{5};-\dfrac{63}{5}\right)=\dfrac{9}{5}\left(1;-7\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng BC nhận (7;1) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(7\left(x+8\right)+1\left(y-11\right)=0\Leftrightarrow7x+y+45=0\)

ta có tọa độ B là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow B\left(2;-1\right)}\)

Từ I kẻ d' qua I và song song với BC khi đó \(d':x=-7\)

Khi đó d' cắt AC tại điểm K có tọa độ là \(\hept{\begin{cases}x=-7\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow}K\left(-7;5\right)\), gọi H là trung điểm của BC

khi đó điểm A thuộc trung trực của KI là đường thẳng AH: \(y=1\)Do đó tọa độ A là : \(A\left(-1;1\right)\)

Do đó đường cao từ C có VTPT \(IA=\left(6,4\right)\)nên đường cao từ C là : \(3x+2y-4=0\)

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH có phương trình: \(3x-y-13=0\)

H có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-7=0\\3x-y-13=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow H=\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

Gọi \(B=\left(m;3m-13\right)\)

Ta có: \(MB=MH\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2+\left(3m-15\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=\dfrac{23}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}B=\left(5;2\right)\\B=\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{4}{5}\right)\left(\text{loại do }B\equiv H\right)\end{matrix}\right.\)

\(B=\left(5;2\right)\Rightarrow A=\left(1;2\right)\)

Đường thẳng AC có phương trình \(x+y-3=0\)

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(3;1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) (1)

B thuộc AB nên: \(x_B-y_B=2\Rightarrow x_B=y_B+2\)

C thuộc AC nên: \(x_C+2y_C-5=0\Rightarrow x_C=-2y_C+5\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B+2-2y_C+5=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=3\Rightarrow x_B=5\\y_C=2\Rightarrow x_C=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình BC: \(\dfrac{x-5}{1-5}=\dfrac{y-3}{2-3}\Leftrightarrow x-4y+7=0\)

1.

\(\overrightarrow{OA}=\left(1;3\right)\Rightarrow OA=\sqrt{10}\)

Gọi I là trung điểm OA \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)

Phương trình đường tròn đường kính OA nhận I là trung điểm và có bán kính \(R=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\):

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}\)

b.

Gọi 2 trung tuyến là BN và CM (với M, N là trung điểm AB và AC)

B thuộc BN nên tọa độ có dạng: \(\left(b;1\right)\)

M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+1}{2};2\right)\)

M thuộc CM nên tọa độ thỏa mãn:

\(\dfrac{b+1}{2}-4+1=0\Rightarrow b=5\Rightarrow B\left(5;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\Rightarrow\) pt AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\) G là giao điểm BN và CM

Tọa độ G thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=-3\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-3;-1\right)\)

Biết tọa độ C, A, B bạn tự viết pt 2 cạnh còn lại

2.

AB vuông góc với trung trực của AB nên nhận (2;-3) là 1 vtpt và (3;2) là 1 vtcp

Phương trình tham số:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\end{matrix}\right.\)

Phương trình tổng quát:

\(2\left(x+1\right)-3\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow2x-3y-7=0\)

b. Câu này tìm trung điểm của AB hay BC nhỉ? Ta chỉ có thể tìm được trung điểm BC sau khi hoàn thành câu c (nghĩa là thứ tự bài toán bị ngược)

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\) tọa độ N thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-7=0\\3x+2y-4=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow N\left(2;-1\right)\)

N là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_N-x_A=5\\y_B=2y_N-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(5;1\right)\)

G là trọng tâm tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=8\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(8;-4\right)\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{13}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)

Câu 3 đơn giản bạn tự làm (AC vuông góc BB' nên nhận (1;-1) là 1 vtpt, AB vuông góc CC' nên nhận (4;1) là 1 vtpt).

Câu b thì B là giao điểm AB và BB', C là giao điểm AC và CC'

Câu 4.

\(x^2+16y^2=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{1}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c^2=15\Rightarrow c=\sqrt{15}\)

Các đỉnh có tọa độ lần lượt: \(\left(4;0\right);\left(-4;0\right);\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\)

Tiêu điểm: \(F_1\left(-\sqrt{15};0\right);F_2\left(\sqrt{15};0\right)\)

Độ dài trục lớn: \(2a=8\)

Độ dài trục bé: \(2b=2\)

Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc AD có dạng:

\(1\left(x-0\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y+1=0\)

Gọi \(M_1\) là giao điểm d và AD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M_1\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi \(M'\) là điểm đối xứng M qua AD \(\Rightarrow M'\in AB\)

\(M_1\) là trung điểm MM' \(\Rightarrow M'\left(-1;0\right)\)

Phương trình AB vuông góc CH và qua M' có dạng:

\(1\left(x+1\right)-2y=0\Leftrightarrow x-2y+1=0\)

A là giao điểm AD và AB nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\left(1;2\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC nhận (2;-1) là 1 vtpt

Phương trình AC: \(2\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-1=0\)

C là giao điểm AC và CH nên tọa độ thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\2x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C...\)

Do B thuộc AB nên tọa độ thỏa mãn: \(B\left(2b-1;b\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2b-2;b-1\right)\)

\(AM=\sqrt{5}\Rightarrow AB=2\sqrt{5}\Rightarrow\left(2b-2\right)^2+\left(b-1\right)^2=\left(2\sqrt{5}\right)^2\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ B \(\Rightarrow\) thay tọa độ B và C vào pt AD để kiểm tra, loại nghiệm cùng dấu

\(\Rightarrow\) Viết pt BC

AC vuông góc BH nên nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình AC:

\(1\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

A thuộc AC và d nên tọa độ A là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-4y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}\right)\)

M là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_M-x_A=\dfrac{8}{3}\\y_C=2y_M-y_A=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}\right)\)

BC song song d nên nhận (1;-4) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(1\left(x-\dfrac{8}{3}\right)-4\left(y-\dfrac{8}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-4y+8=0\)

B là giao điểm của BC và BH nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-4y+8=0\\x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-4;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=...\Rightarrow\) phương trình đường thẳng AB

a. 

\(\overrightarrow{BC}=\left(-2;-4\right)=-2\left(1;2\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtcp

Phương trình BC: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+t\\y=4+2t\end{matrix}\right.\)

b.

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\Rightarrow R^2=AB^2=\left(-2\right)^2+1^2=5\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=5\)

c.

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-2.\left(-2\right)+1.\left(-4\right)=0\Rightarrow AB\perp BC\)

\(\Rightarrow H\) trùng B hay tọa độ H là: \(H\left(-1;4\right)\)