Ta có:

A = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + ...+ 5²⁰¹⁷

A = \(\frac{5^{2017}-1}{5-1}\)

B = \(\frac{5^{2018}-1}{2-1}\)

=> \(4A=\frac{5^{2017}-1}{4}.4=5^{2017}-1< B=5^{2018}-1\)

Vậy 4A < B

Ta có: 5A=5(1+5+5²+....+5²⁰¹⁷)

          5A=5+5²+5³+....+5²⁰¹⁸

          5A-A=(5+5²+5³+...+5²⁰¹⁸)-(1+5+5²+....+5²⁰¹⁷)

          4A=5²⁰¹⁸-1

Vì 4A=5²⁰¹⁸-1. Mà 5²⁰¹⁸-1=5²⁰¹⁸-1

Suy ra:4A=B

Lời giải:
$a=1+5+5^2+5^3+...+5^{2022}+5^{2023}$

$5a=5+5^2+5^3+5^4+....+5^{2023}+5^{2024}$

$\Rightarrow 5a-a=5^{2024}-1$

$\Rightarrow 4a=5^{2024}-1$

$\Rightarrow 4a+1=5^{2024}\vdots 5^{2023}$ (đpcm)

Ta có : A=1+5+5²+...+5²⁰¹⁴

5A=5+5²+5³+...+5²⁰¹⁵

5A-A=(5+5²+5³+...+5²⁰¹⁵)-(1+5+5²+...+5²⁰¹⁴)

\(\Rightarrow\)4A=5²⁰¹⁵-1

\(\Rightarrow\)4A+1=5²⁰¹⁵-1+1=5²⁰¹⁵

\(\Rightarrow\)5ⁿ=5²⁰¹⁵

\(\Rightarrow\)n=2015

Vậy n=2015.

\(Ta \)  \(có : \)

\(A = 1 + 5 + 5 ^ 2 + ... + 5\)^\(2014\)

\(5A = 5 + 5^ 2 + 5^ 3 + ... + 5\)^\(2015\)

\(5A - A = ( 5 + 5^ 2 + 5^ 3+ ...+ 5\)^\(2015\)\() - ( 1+ 5 + 5^2 + ...+ 5\)^\(2014\)\()\)

\(4A = 5\)^\(2015\) \(- 1 \)

\(\Leftrightarrow\)\(4A + 1 = 5\)^\(2015\)

\(Mà \) \(theo \) \(đề \) \(ta \) \(có :\)\(4A + 1 = 5^n\)

\(\Rightarrow\)\(5^n = 5\)^\(2015\)

\(\Rightarrow\)\(n = 2015\)

\(Vậy : n = 2015\)

XIN LỖI Ơ PHẦN B=1+3+3^2+...+3^8

Bạn đợi mình tí nha ! Mình đang giải !

                                                              Bài giải

\(A=\frac{1+5+5^2+5^3+...+5^9}{1+5+5^2+...+5^8}=1+\frac{5^9}{1+5+5^2+...+5^8}\)

Đặt \(C=1+5+5^2+..+5^8\)

\(5C=5+5^2+5^3+...+5^9\)

\(5C-C=4C=5^9-1\)

\(C=\frac{5^9-1}{4}\)

Thay vào ta được : \(A=\frac{5^9}{\frac{5^9-1}{4}}=1+\frac{5^9}{4\cdot5^9-4}=1+\frac{5^9}{4\left(5^9-1\right)}=1+\frac{5^9-1}{4\left(5^9-1\right)}+\frac{1}{4\left(5^9-1\right)}\)

\(=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4\left(5^9-1\right)}=\frac{5}{4}+\frac{1}{4\left(5^9-1\right)}\)

\(B=\frac{1+3+3^2+...+3^9}{1+3+3^2+...+3^8}=1+\frac{3^9}{1+3+3^2+...+3^8}\)

Đặt \(D=1+3+3^2+...+3^8\)

\(3D=3+3^2+3^3+...+3^9\)

\(3D-D=2D=3^9-1\)

\(D=\frac{3^9-1}{2}\)

Thay vào ta được : \(B=1+\frac{3^9}{\frac{3^9-1}{2}}=1+\frac{3^9}{2\cdot3^9-2}=1+\frac{3^9}{2\left(3^9-1\right)}=1+\frac{3^9-1}{2\left(3^9-1\right)}+\frac{1}{2\left(3^9-1\right)}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\left(3^9-1\right)}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2\left(3^9-1\right)}\)

Vì \(\frac{5}{4}< \frac{3}{2}\) và \(\frac{1}{4\left(5^9-1\right)}< \frac{1}{2\left(3^9-1\right)}\) \(\Rightarrow\text{ }A< B\)

Theo Cauchy:

\(3\sqrt{2a-1}=3\sqrt{1\left(2a-1\right)}\le\dfrac{3\left(1+2a-1\right)}{2}=3a\)

\(a\sqrt{5-4a^2}\le\dfrac{a^2+5-4a^2}{2}=\dfrac{5-3a^2}{2}\)

\(A\le3a+\dfrac{5-3a^2}{2}=\dfrac{5-3a^2+6a}{2}=\dfrac{-3\left(a-1\right)^2}{2}+4\le4\)

Vậy \(A_{max}=4\Leftrightarrow x=1\)

1.

a. -3a - 1 + 1 > -3b - 1 + 1 (cộng cả 2 vế cho 1)

  -3a . \(\left(\dfrac{-1}{3}\right)\) <  -3b . \(\left(\dfrac{-1}{3}\right)\) (nhân cả vế cho \(\dfrac{-1}{3}\) )

         a < b

b. 4a + 3 + (- 3) < 4b + 3 +(- 3) (cộng cả 2 vế cho -3)

   4a . \(\dfrac{1}{4}\) < 4b . \(\dfrac{1}{4}\) (nhân cả 2 vế cho \(\dfrac{1}{4}\) )

        a < b

2. 

a. Ta có: a < b 

3a < 3b ( nhân cả 2 vế cho 3)

3a - 7 < 3b - 7 (cộng cả 2 vế cho - 7 )

b. Ta có: a < b

-2a > -2b (nhân cả 2 vế cho -2)

5 - 2a > 5 - 2b ( cộng cẩ 2 vế cho 5)

c. Ta có: a < b 

2a < 2b (nhân cả vế cho 2)

2a + 3 < 2b + 3 (cộng cả 2 vế cho 3)

d. Ta có: a < b

3a < 3b (nhân cả 2 vế cho 3)

3a - 4 < 3b - 4 (cộng cả 2 vế cho -4)

Ta có: 3 < 4

đến đây ko bắt cầu qua đc chắc đề bài sai

  A= 1 + 5 + 5² + 5 ³ + ... + 5⁸⁰⁰ 

5A=       5 + 5²  + 5³ + .... +5 ⁸⁰⁰ + 5⁸⁰¹  

5A - A = 5⁸⁰¹  - 1 

4a = 5⁸⁰¹ - 1 

    5⁸⁰¹ - 1 +1 = 5ⁿ

⇒  5⁸⁰¹ = 5ⁿ ⇒ n = 801

= 5

\(A=5+5^2+5^3+...+5^{224}\)

=>\(5A=5^2+5^3+5^4+...+5^{225}\)
=>\(5A-A=5^2+5^3+...+5^{225}-5-5^2-5^3-...-5^{224}\)

=>\(4\cdot A=5^{225}-5\)

=>\(4A+5=5^{225}\)

=>\(5^{\left(n+1\right)^2}=5^{225}\)

=>\(\left(n+1\right)^2=225\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n+1=15\\n+1=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=14\\n=-16\end{matrix}\right.\)