a: Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó:ΔBMC vuông tại M

=>BM\(\perp\)MC tại M

=>CM\(\perp\)AB tại M

Xét (O) có

ΔBNC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBNC vuông tại N

=>BN\(\perp\)NC tại N

=>BN\(\perp\)AC tại N

Xét ΔABC có

BN,CM là đường cao

BN cắt CM tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

b: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,M,H,N cùng thuộc (E)

Gọi giao điểm của AH với BC là F

Xét ΔABC có

H là trực tâm của ΔABC

F là giao điểm của AH với BC

Do đó: AH\(\perp\)BC tại F

=>ΔAFB vuông tại F

=>\(\widehat{ABF}+\widehat{BAF}=90^0\)

mà \(\widehat{ABF}+\widehat{MCB}=90^0\)(ΔCMB vuông tại M)

nên \(\widehat{BAF}=\widehat{MCB}\)

\(\widehat{EMO}=\widehat{EMH}+\widehat{OMH}\)

=\(\widehat{EHM}+\widehat{OCM}\)

\(=90^0-\widehat{MAH}+\widehat{MCB}\)

\(=90^0\)

=>EM là tiếp tuyến của (O)

góc BFC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ

=>BF vuông góc AC,CE vuông góc AB

Xét ΔABC có

BF,CE là đường cao

BF cắt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại N

góc HNC+góc HFC=180 độ

=>HNCF nội tiếp

a) Xét (O) có 

ΔDBC nội tiếp đường tròn(D,B,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔDBC vuông tại D(Định lí)

⇒CD⊥BD tại D

⇒CD⊥AB tại D

⇒HD⊥AD tại D

Xét ΔADH có HD⊥AD tại D(cmt)

nên ΔADH vuông tại D(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔADH vuông tại D(cmt)

mà DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)

nên \(DI=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

⇒BE⊥CE tại E

⇒BE⊥AC tại E

⇒HE⊥AE tại E

Xét ΔAEH có AE⊥EH tại E(cmt)

nên ΔAEH vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔAEH vuông tại E(cmt)

mà EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)

nên \(EI=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ID=IE

hay I nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OD=OE(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra OI là đường trung trực của DE

hay OI⊥DE(đpcm)

I là điểm nào ạ?

a,  A D B ^  là góc nội tiếp trên đường kính AB =>  A D ⊥ B D

b, Do  A D C ^ = 90 0  nên DÎ đường tròn (k; A C 2 )

c, ∆IBD cân tại I có  B ^ = 60 0 =>  ∆IBD đều =>  B I D ^ = 60 0

=>  l B D ⏜ = π . 5 2 . 60 180 = 5 6 π cm

oài 3 bài này khó kinh khủng 

a) Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao ứng với cạnh BC

nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Ta có: AB=AC

nên A nằm trên đường trung trực của BC\(\left(1\right)\)

Ta có: OB=OC

nên O nằm trên đường trung trực của BC\(\left(2\right)\)

Ta có: HB=HC

nên H nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1), \(\left(2\right),\left(3\right)\) suy ra A,O,H thẳng hàng

\(\Leftrightarrow A,O,H,D\) thẳng hàng

hay AD là đường kính của \(\left(O\right)\)

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

góc FHE=180-60=120 độ

=>1/2(sđ cung FE+sđ cung BC)=120 độ

=>sđ cung FE=60 độ

=>góc FOE=60 độ

góc IFO=góc IFH+góc OFH

=90 độ

=>góc IEO=90 độ

=>IFOE nội tiếp đường tròn đường kính OI

góc FOE=60 độ

=>góc IOE=30 độ

=>OE/OI=1/căn 3

=>OI=Rcăn 3

=>R1=Rcăn 3/2