Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Sửa đề: Đường cao NE,PF

a: Xét tứ giác NFEP có

\(\widehat{NFP}=\widehat{NEP}=90^0\)

=>NFEP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính NP

=>N,F,E,P cùng thuộc đường tròn đường kính NP

b: Gọi O là trung điểm của NP

=>O là tâm của đường tròn đường kính NP

Xét (O) áo
NP là đường kính

FE là dây

Do đó: FE<NP

Để chứng minh rằng bốn điểm N, P, F, E thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh góc NFE và góc NPE là góc nhọn.

Vì tam giác MNP là tam giác nhọn, nên góc MNP, góc NMP và góc NPM đều là góc nhọn. Do đó, góc NFE và góc NPE là góc phụ của góc NMP và góc NPM tương ứng.

Vì NE là đường cao của tam giác MNP, nên góc NME và góc NPE là góc vuông. Vì góc NME và góc NPE là góc phụ của góc NMP và góc NPM, nên góc NME và góc NPE cũng là góc nhọn.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng bốn điểm N, P, F, E thuộc một đường tròn.

Để so sánh NP và EF, ta có thể sử dụng định lý cung đối và cung đối nhau trên đường tròn.

Vì N, P, F, E thuộc một đường tròn, nên NP và EF là hai cung trên đường tròn đó.

Theo định lý cung đối, hai cung trên cùng một đường tròn có cùng độ dài nếu và chỉ nếu chúng tương ứng với cùng một góc ở tâm.

Vì NP và EF tương ứng với cùng một góc ở tâm (góc NFE và góc NPE), nên NP và EF có cùng độ dài.

Vậy, ta có thể kết luận rằng NP và EF có cùng độ dài.

a: Xét tứ giác OAMB có

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

mà OA=OB

nên OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

c: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\)

khó thế

Kẻ OM vuông góc CD

=>OM//AK//LB

Xét hình thang ABLK có

O là trung điểm của AB

OM//AK//LB

Do đó: M là trung điểm của LK

=>ML=MK

ΔOCD cân tại O

mà OM là đường cao

nên M là trung điểm của CD

=>MC=MD

MD+DL=ML

MC+CK=MK

mà ML=MK và MC=MD

nên DL=CK

a: Sửa đề:I là chân đường cao kẻ từ O xuống AB. Chứng minh H,O,K thẳng hàng

Xét tứ giác AHOI có

\(\widehat{AHO}+\widehat{AIO}=180^0\)

=>AHOI là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HOI}+\widehat{HAI}=180^0\)

Xét tứ giác OIBK có \(\widehat{OIB}+\widehat{OKB}=180^0\)

=>OIBK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{IOK}+\widehat{IBK}=180^0\)

AH//BK

=>\(\widehat{HAI}+\widehat{KBI}=180^0\)

\(\widehat{HOI}+\widehat{KOI}\)

\(=180^0-\widehat{HAI}+180^0-\widehat{KBA}\)

\(=360^0-180^0=180^0\)

=>H,O,K thẳng hàng

b: Xét ΔAHO vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có

AO chung

\(\widehat{HAO}=\widehat{IAO}\)

Do đó: ΔAHO=ΔAIO

=>AH=AI

Xét ΔOIB vuông tại I và ΔOKB vuông tại K có

BO chung

\(\widehat{IBO}=\widehat{KBO}\)

Do đó: ΔOIB=ΔOKB

=>BI=BK

AH+BK=AI+IB=AB không đổi

\(\widehat{OBA}+\widehat{OAB}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{HAB}+\widehat{KBA}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

=>ΔOAB vuông tại O

=>ΔOAB nội tiếp đường tròn đường kính BA

\(\widehat{HIK}=\widehat{HIO}+\widehat{KIO}\)

\(=\widehat{HAO}+\widehat{OBK}\)

\(=\widehat{OAB}+\widehat{OBA}=90^0\)

=>ΔHIK vuông tại I

=>ΔHIK nội tiếp đường tròn đường kính HK

a: Xét tứ giác BHCK có

I là trung điểm chung của BC và HK

=>BHCK là hình bình hành

b: BHCK là hbh

=>BH//CK và BK//CH

=>BK vuông góc AB và CK vuông góc CA

góc ABK=góc ACK=90 độ

=>ABKC nội tiếp đường tròn đường kính AK

=>O là trung điểm của AK

c: Xét ΔKAH có

KO/KA=KI/KH=1/2

nên OI//AH

d: gọi giao của AH với BC là F

=>AH vuông góc BC tại F

Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBFA vuông tại F có

góc B chung

=>ΔBEC đồng dạng với ΔBFA

=>BE/BF=BC/BA

=>BE*BA=BF*BC

Xét ΔCDB vuông tại D và ΔCFA vuông tại F có

góc C chung

=>ΔCDB đồng dạng với ΔCFA

=>CD/CF=CB/CA
=>CD*CA=CF*CB

=>BE*BA+CD*CA=BC^2

OM^2+ON^2=MN^2 và OM=ON

=>ΔOMN vuông cân tại O

ΔOMN cân tại O có OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc MON

=>góc MOA=22,5 độ

=>góc MOB=157,5 độ

=>góc OMB=11,25 độ

=>góc HMB=56,25 độ

cos HMB=HM/MB

=>MB\(\simeq\)1,27R

=>MA\(\simeq1,55R\)

a) Gọi O là trung điểm của BC

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có:

\(ED=\dfrac{1}{2}BC,DO=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow OE=OD=OB=OC\left(=\dfrac{1}{2}BC\right)\)

Do đó 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc đường tròn O đường kính BC

b) Xét đường \(\left(O;\dfrac{BC}{2}\right)\), BC là đường kính và DE là dây không qua tâm nên:

\(DE< BC\)

a.

Vì 2 tam giác vuông BEC và BDC có chung cạnh huyền BC nên 2 đỉnh góc vuông D và E nằm trên đường tròn đường kính BC.

Vậy 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc 1 đường tròn.

b.

Trong đường tròn đường kính BC, DE là một dây không đi qua tâm. Vậy DE < BC (tính chất độ dài đường kính và dây cung)

a: góc APB=1/2*sđcung AB=90 độ

góc NQB=góc NPB=90 độ

=>QBNP nội tiếp

góc AQM+góc APM=180 độ

=>AQPM nội tiếp

Bài 5:

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đo: ΔAMB vuông tại M

b: Xét ΔCAB vuông tại A có AM là đường cao

nên AM^2=MB*MC

c: MB*MC=AM^2

AH*AB=AM^2

=>MB*MC=AH*AB