Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácĐịnh lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Thật vậy: Gọi \(AB\) là một dây bất kì của đường tròn \(\left(O;R\right)\). Ta sẽ chứng minh: \(AB\le2R\).
Trường hợp 1: \(AB\) là đường kính \(\Rightarrow AB=2R\).
Trường hợp 2: \(AB\) không là đường kính.
Khi đó, \(OAB\) tạo thành tam giác. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(AB< AO+BO=R+R=2R\).
Vậy, \(AB\le2R\) với mọi dây \(AB\), hay dây lớn nhất trong một đường tròn chính là đường kính của nó.
Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây thì vuông góc với dây ấy.
Chứng minh:
Xét đường tròn \(\left(O\right)\) có đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\).
Trường hợp 1: Dây \(CD\) là đường kính. Hiển nhiên đường kính \(AB\) đi qua trung điểm \(O\) của \(CD\).
Trường hợp 2: Dây \(CD\) không là đường kính.
Gọi \(I\) là giao điểm \(AB,CD\).
Tam giác \(OCD\) có \(OC=OD\) nên nó cân tại \(O\) \(\Rightarrow OI\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến
\(\Rightarrow I\) là trung điểm \(CD\).
Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
Chứng minh:
Cho đường tròn \(\left(O\right)\). Giả sử đường kính \(AB\) cắt dây \(CD\) tại trung điểm \(I\) của nó.
Ta có: \(OI\) chung; \(OC=OD;IC=ID\)
\(\Rightarrow\Delta OIC=\Delta OID\) (cạnh - cạnh - cạnh) \(\Rightarrow\widehat{OIC}=\widehat{OID}=90^0\Rightarrow AB\perp CD\).
Ví dụ: Cho đường tròn \(\left(O;13cm\right)\). Dây \(AB\) không đi qua tâm. Khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\) bằng \(5cm\). Tính độ dài dây \(AB\)?
Lời giải:
Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\) \(\Rightarrow MA=MB=\dfrac{AB}{2}\). Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây, ta có: \(OM\perp AB\).
Áp dụng định lí Pytago: \(OA^2=OM^2+MA^2\)
\(\Rightarrow AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AB=2.AM=24\left(cm\right)\).