x( x + y )² - y + 1 = 0

<=> x( x² + 2xy + y² ) - y + 1 = 0

<=> x³ + 2x²y + xy² - y + 1 = 0

<=> xy² + ( 2x² - 1 )y + x³ + 1 = 0 (*)

Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y , x là tham số 

(*) có nghiệm <=> Δ ≥ 0 <=> ( 2x² - 1 )² - 4x( x³ + 1 ) ≥ 0

<=> 4x⁴ - 4x² + 1 - 4x⁴ - 4x ≥  0

<=> -4x² - 4x + 1 ≥ 0

<=> \(\frac{-1-\sqrt{2}}{2}\le x\le\frac{-1+\sqrt{2}}{2}\)

Vì x nguyên => x ∈ { -1 ; 0 } 

+) Với x = -1 (*) trở thành -y² + y = 0 <=> y( 1 - y ) = 0 <=> y = 0 (tm) hoặc y = 1 (tm)

+) Với x = 0 (*) trở thành -y + 1 = 0 <=> y = 1 (tm)

Vậy ( x ; y ) = { ( -1 ; 0 ) , ( -1 ; 1 ) , ( 0 ; 1 ) }

cậu ơi có thể giải bài này mà ko dùng denta đc ko ?

|x| < 59 ; x thuộc Z

=> x thuộc {-59;-58;-57;..........;57;58;59}

a, tổng của tất cả các số nguyên x là: 

-59 + (-58) + (-57) + ....... + 57 + 58 + 59

= (-59 + 59) + (-58 + 58) + (-57 + 57) + ...... + (-1 + 1) + 0

= 0 + 0 + 0+ ..... + 0 + 0

= 0

b, tích của tất cả các số nguyên x là: 

-59 . (-58) . (-57) . ...0.... . 57 . 58 . 59

= 0 

vậy tích của tất cả các số nguyên x ko âm cx ko dương

1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

\(x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2-12xy+8x-16y+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-12xy+9y^2\right)-y^2+8x-16y+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+4\left(2x-3y\right)+4-\left(y^2-4y+4\right)+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2\right)^2-\left(y-2\right)^2+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2-y+2\right)\left(2x-3y+2+y-2\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-4y+4\right)\left(2x-2y\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y+2\right)\left(x-y\right)=-\frac{3}{2}\)

Đến đây ta thấy vô lý

P/S:is that true ?

=-12 mà CTV