Sửa đề: CMR $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2a$

-------------------

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$3(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 6a$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 2a(a+b+c+d)$

$\Leftrightarrow a^2+3b^2+3c^2+3d^2\geq 2ab+2ac+2ad$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a^2+9b^2-6ab)+\frac{1}{3}(a^2+9c^2-6ac)+\frac{1}{3}(a^2+9d^2-6ad)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a-3b)^2+\frac{1}{3}(a-3c)^2+\frac{1}{3}(a-3d)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm.

đặt a/b =c/d =k 

=> a=bm , c=dm 

=> 2a+3c/2b+3d =2bm+3bm/ 2b +3d = m.(2d+3d)/2d+3d =m (1)

=> 2a-3c/2d-3d=2bm-3dm /2b -3d =m.(2b-3d)/2b-3d= m (2)

Từ (1) và (2) => 2a+3c/2b+3d =2a-3c/2b-3d 

câu 2 tương tự nha

bạn khôi đặt là k mà lại khi m

Đặt a/b=c/d=k

=>a=bk; c=dk

a: \(\dfrac{2a}{a+b}=\dfrac{2bk}{bk+b}=\dfrac{2k}{k+1}\)

\(\dfrac{2c}{c+d}=\dfrac{2dk}{dk+d}=\dfrac{2k}{k+1}\)

Do đó: \(\dfrac{2a}{a+b}=\dfrac{2c}{c+d}\)

b: \(\dfrac{a-b}{2a+b}=\dfrac{bk-b}{2bk+b}=\dfrac{k-1}{2k+1}\)

\(\dfrac{c-d}{2c+d}=\dfrac{dk-d}{2dk+d}=\dfrac{k-1}{2k+1}\)

Do đó: \(\dfrac{a-b}{2a+b}=\dfrac{c-d}{2c+d}\)

c: \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{bk}{dk}=\dfrac{b}{d}\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Do đó: \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)

hay \(\dfrac{a}{a^2+b^2}=\dfrac{c}{c^2+d^2}\)

a) \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

<=> \(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1=0\)

<=> \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c=1

b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3ac+3bc\)

<=> \(a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac=0\)

<=> \(2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac=0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c

#NguyễnHoàngTiến ơi cảm ơn bạn đã giúp mình nhưng cho mình hỏi left với right trong bài của bạn có nghĩa là gì vậy hả, mình không hiểu lắm.

Bài 1:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt$. Khi đó:

\(\frac{2a^2-3ab+5b^2}{2a^2+3ab}=\frac{2(bt)^2-3.bt.b+5b^2}{2(bt)^2+3bt.b}=\frac{b^2(2t^2-3t+5)}{b^2(2t^2+3t)}\)

$=\frac{2t^2-3t+5}{2t^2+3t}(1)$
\(\frac{2c^2-3cd+5d^2}{2c^2+3cd}=\frac{2(dt)^2-3.dt.d+5d^2}{2(dt)^2+3dt.d}=\frac{d^2(2t^2-3t+5)}{d^2(2t^2+3t)}=\frac{2t^2-3t+5}{2t^2+3t}(2)\)

Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.

Bài 2:

Từ $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow c^2=ab$. Khi đó:

$\frac{b^2-c^2}{a^2+c^2}=\frac{b^2-ab}{a^2+ab}=\frac{b(b-a)}{a(a+b)}$ (đpcm)

Bài 3:

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt$

Khi đó:

$\frac{3a^6+c^6}{3b^6+d^6}=\frac{3(bt)^6+(dt)^6}{3b^6+d^6}=\frac{t^6(3b^6+d^6)}{3b^6+d^6}=t^6(*)$

Và:

$\frac{(a+c)^6}{(b+d)^6}=(\frac{bt+dt}{b+d})^6=t^6(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow $ đpcm.