Xét dãy \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân có \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=x^2\\q=-x\end{matrix}\right.\)

\(S=x^2-x^3+x^4-x^5+...+\left(-1\right)^nx^n+...=\dfrac{x^2}{1-\left(-x\right)}=\dfrac{x^2}{x+1}\)

bạn tách từng câu ra 

chua hoc den moi lop 7

TIỂU THƯ ĐÁNG YÊU à, bạn mới học đến lớp 7 thì đừng trả lời câu hỏi của mình.

Bài 1:

\(a=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{\left(x+1\right)\left(x^4-x^3+x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^2-x+1}=\frac{5}{3}\)

\(b=\frac{1-5+1}{0}=\frac{-3}{0}=-\infty\)

\(c=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)+2x\left(1+3x\right)+3x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left[\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)+2\left(1+3x\right)+3\right]=1+2+3=6\)

\(d=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{5\left(1+x\right)^4-1}{5x^4+2x}=\frac{4}{0}=+\infty\)

Bài 2:

\(a=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^m-1}{x^n-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{mx^{m-1}}{nx^{n-1}}=\frac{m}{n}\)

\(b=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x^n-a^n}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{1}{nx^{n-1}}=\frac{1}{n.a^{n-1}}\)

\(c=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x+x^2+...+x^n-n}{x-1}=\frac{-n}{-1}=n\)

\(\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)=x\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)+\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)...\left(1+nx\right)\)

\(=x\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)+2x\left(1+3x\right)...\left(1+nx\right)+\left(1+3x\right)...\left(1+nx\right)\)

\(=...\)

\(=x\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)+2x\left(1+3x\right)...\left(1+nx\right)+...+nx+1\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)...\left(1+nx\right)-1}{x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)+2x\left(1+3x\right)...\left(1+nx\right)+...+nx}{x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left[\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)+2\left(1+3x\right)...\left(1+nx\right)+...+n\right]\)

\(=1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

giup minh voi cac bạn