a: góc NED+góc NCD=180 độ

=>NEDC nội tiếp

b: ΔAHB vuôg tại H có HM vuông góc AB

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN vuông góc AC

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

a: Xét tứ giác BMDH có

gócc BMD+góc BHD=180 độ

=>BMDH là tứ giác nội tiếp

b: góc AMN+góc OAM

=góc ADN+(180 độ-góc AOB)/2

=90 độ-góc HAC+90 độ-góc AOB/2

=180 độ-(90 độ-góc ACB)-góc ACB

=90 độ

=>MN vuông góc AO

=>MN//tiếp tuyến tại A của (O)

a) Ta có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) nên tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH.

b) Tứ giác AMHN nội tiếp nên \(\widehat{AMN}=\widehat{AHN}=\widehat{ACB}\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)

Gọi I là trung điểm AH

M và N đều nhìn AH dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow\) tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn (I) đường kính AH

Mặt khác \(IH\perp KH\Rightarrow KH\) là tiếp tuyến của (I)

Theo tính chất phương tích: \(KH^2=KM.KN\)

Lại có: \(\widehat{AHN}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ \(\widehat{HAN}\))

\(\widehat{AHN}=\widehat{AMN}\) (cùng chắn cung AN của đường tròn (I))

\(\widehat{AMN}=\widehat{KMB}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{KMB}=\widehat{ACB}\)

Xét hai tam giác KMB và KCN có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BKM}\text{ chung}\\\widehat{KMB}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta KMB\sim\Delta KCN\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{KB}{KN}=\dfrac{KM}{KC}\Rightarrow KM.KN=KB.KC\)

\(\Rightarrow KH^2=KB.KC\)

a: AE là phân giác của góc BAC

=>EB=EC

mà OB=OC

nên OE là trung trực của BC

=>OE vuông góc BC

=>OE//AH

b: Điểm M ở đâu vậy bạn?

- Xét △AMD và △AHB có: \(\widehat{AMD}=\widehat{AHB}\left(=90^0\right)\), \(\widehat{BAH}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\Delta AMD\sim\Delta AHB\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AM.AB=AD.AH\left(1\right)\)

- Xét △AND và △AHC có: \(\widehat{AND}=\widehat{AHC}=90^0\), \(\widehat{CAH}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\Delta AND\sim\Delta AHC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AN}{AH}\Rightarrow AD.AH=AN.AC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AM.AB=AN.AC\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét △AMN và △ACB có: \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)(cmt), \(\widehat{BAC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)

Ta có \(OA=OB\) nên △OAB cân tại O.

\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\dfrac{180^0-\widehat{AOB}}{2}\)

Xét (O): \(\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}\left(=sđ\stackrel\frown{AB}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\dfrac{180^0-2\widehat{ACB}}{2}=90^0-\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{OAB}+\widehat{AMN}=90^0\) nên MN vuông góc với OA.

=>MN song song với tiếp tuyến tại A của (O) (vì OA là bán kính của (O) ).