a/ \(\frac{A^4_n}{A_{n+1}^3-C_n^{n-4}}=\frac{24}{23}\Rightarrow n=5\)

Khai triển \(\left(2-3x^2+x^3\right)^5\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_3=5\\2k_2+3k_3=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_3\right)=\left(1;3;1\right);\left(2;0;3\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^9\):

\(\frac{5!}{1!.3!.1!}.2^1.\left(-3\right)^3+\frac{5!}{2!.3!}.2^2.\left(-3\right)^0=-1040\)

b/ SHTQ của khai triển: \(\left(1+2x\right)^n\) là: \(C_n^k2^kx^k\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển tổng quát là \(C_n^32^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển của \(f\left(x\right)\): \(2^3.\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3\)

Tính tổng \(C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_5^4+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_6^4+C_6^3+...+C_{22}^3=...=C_{23}^4\)

Vậy \(2^3\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3=2^3.C_{23}^4\)

\({\left( {2x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^{16}} = \sum\limits_0^{16} {C_{16}^k{{\left( {2x} \right)}^k}{{\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt x }}} \right)}^{16 - k}}} = \sum\limits_0^{16} {C_{16}^k{{.2}^k}.{{\left( { - 1} \right)}^{16 - k}}.{x^k}.{{\left( {{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)}^{16 - k}}} = \sum\limits_0^{16} {C_{16}^k{2^k}.{{\left( { - 1} \right)}^{16 - k}}.{x^{\frac{3}{2}k - 8}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) khi: \(\frac{3}{2}k - 8 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{3}\). 

Do đó số hạng không chứa \(x \) trong khai triển đã cho là \(0\).

Ta có: \(x.\left(C^k_n.a^{n-k}.b^k\right)=x.\left(C^k_5.a^{5-k}.b^k\right)=C^k_5.1^{5-k}.2^k.x^k.x\)

\(=C^k_5.2^k.x^{k+1}\)

Mà ta cần tìm số hạng của x⁵

\(\Rightarrow k+1=5\Leftrightarrow k=4\)

Vậy số hạng của x⁵ là: \(C^4_5.2^4=80\)

Ta nhân thêm ''x'' vào số hạng tổng quát vì có ''x'' là nhân tử chung của mỗi số hạng trong khải triển

\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)

Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn

Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)

b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):

\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)

c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)

SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)

`2^n C_n ^0+2^[n-1] C_n ^1+2^[n-2] +... +C_n ^n=59049`

`<=>(2+1)^n=59049`

`<=>3^n=59049`

`<=>n=10 =>(2x^2+1/[x^3])^10`

Xét số hạng thứ `k+1:`

    `C_10 ^k (2x^2)^[10-k] (1/[x^3])^k ,0 <= k <= 10`

 `=C_10 ^k 2^[10-k] x^[20-5k]`

Số hạng chứa `x_5` xảy ra `<=>20-5k=5<=>k=3`

Với `k=3` thì số hạng cần tìm là: `C_10 ^3 2^[10-3] x^5=15360 x^5`

Số hạng tổng quát: \(C_n^k.a^k.b^{n-k}\)

+ Có :   - a là: 2x² ;   b là : \(-\dfrac{1}{x^3}\);   n là: 7.

Thay vào số hạng tổng quát rồi rút gọn ta đc:

\(C_7^k.\left(-1\right)^{7-k}.2.x^{5k-21}\) theo đề bài số hạng chứa x^4 => 5k-21=4 => k= 5.

Vậy số hạng tổng quát là: \(C^5_7.2\)