a) Xét 2 \(\Delta\) \(AMB\) và \(DMC\) có:

\(AM=DM\left(gt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(MB=MC\) (vì M là trung điểm của \(BC\))

=> \(\Delta AMB=\Delta DMC\left(c-g-c\right)\)

b) Theo câu a) ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC.\)

=> \(AB=CD\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) (2 góc tương ứng)

Hay \(\widehat{ABC}=\widehat{DCB}.\)

c) Xét 2 \(\Delta\) \(ABC\) và \(DCB\) có:

\(AB=CD\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DCB}\left(cmt\right)\)

Cạnh BC chung

=> \(\Delta ABC=\Delta DCB\left(c-g-c\right).\)

d) Theo câu c) ta có \(\Delta ABC=\Delta DCB.\)

=> \(AC=BD\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{BAC}=\widehat{CDB}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)

=> \(\widehat{CDB}=90^0\)

Vậy \(\widehat{CDB}=90^0.\)

Chúc bạn học tốt!

2) Chứng minh AC || CD là sao bạn ??? Song song ???

a: Xét ΔAMC và ΔDMB có

MA=MD

\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔAMC=ΔDMB

b: Xét ΔAMB và ΔDMC có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔAMB=ΔDMC

c: Ta có: ΔAMB=ΔDMC

=>AB=DC

Ta có: ΔAMB=ΔDMC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CD

d: ta có: ΔAMC=ΔDMB

=>AC=DB

Ta có: ΔAMC=ΔDMB

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//BD

e: Xét ΔKDM và ΔHAM có

KD=HA

\(\widehat{KDM}=\widehat{HAM}\)

DM=AM

Do đó: ΔKDM=ΔHAM

=>\(\widehat{KMD}=\widehat{HMA}\)

mà \(\widehat{KMD}+\widehat{KMA}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{HMA}+\widehat{KMA}=180^0\)

=>H,M,K thẳng hàng

a) Xét ΔAMB và ΔDMC có:

\(AM=CM\) (gt) 

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh) 

\(BM=CM\) (M là trung điểm của BC) 

\(\Rightarrow\text{Δ}AMB=\text{Δ}DMC\left(c.g.c\right)\)

b) Ta có: \(\text{Δ}AMB=\text{Δ}DMC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AB=DC\) (2 cạnh t.ứng)  

c) Ta có: \(\text{Δ}AMB=\text{Δ}DMC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\) (hai góc t.ứng) 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong 

\(\Rightarrow AB//CD\)

(tự vẽ hình )

câu 4:

 a) có AB² + AC² = 225

BC² = 225

Pytago đảo => \(\Delta ABC\)vuông tại A

b) Xét \(\Delta MAB\)và \(\Delta MDC\)

MA = MD (gt)

BM = BC ( do M là trung điểm của BC ) 

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)( hai góc đối đỉnh )

=> \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\) (cgc)

c) vì \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\)

=> \(\hept{\begin{cases}AB=DC\\\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\end{cases}}\)

=> AB// DC

lại có AB \(\perp\)AC => DC \(\perp\)AC => \(\Delta KCD\)vuông tại C

Xét \(\Delta\) vuông ABK và \(\Delta\)vuông KCD:

AB =CD (cmt)

AK = KC ( do k là trung điểm của AC )

=> \(\Delta\)vuông AKB = \(\Delta\)vuông CKD (cc)

=> KB = KD

d. do KB = KD => \(\Delta KBD\)cân tại K

=> \(\widehat{KBD}=\widehat{KDB}\)(1)

có \(\Delta ADC\)vuông tại C => \(AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=15\)

=> MD = 7.5

mà MB = 7.5

=> MB = MD 

=> \(\Delta MBD\)cân tại M

=> \(\widehat{MBD}=\widehat{MDB}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{KBD}-\widehat{MBD}=\widehat{KDB}-\widehat{MDB}\)hay \(\widehat{KBM}=\widehat{KDM}\)

Xét \(\Delta KBI\)và \(\Delta KDN\)có:

\(\widehat{KBI}=\widehat{KDN}\)(cmt)

\(\widehat{KBD}\)chung

KD =KB (cmt) 

=> \(\Delta KBI\)= \(\Delta KDN\)(gcg)

=> KN =KI 

=. đpcm

câu 5: 

a) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta MDC\):

MA=MD(gt)

MB=MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\)( đối đỉnh )

=> \(\Delta BMA=\Delta CMD\)(cgc)

b) Xét \(\Delta\)vuông ABC 

có AM là đường trung tuyến của tam giác 

=> \(AM=\frac{1}{2}BC\)mà \(BM=MC=\frac{1}{2}BC\)(do M là trung điểm của BC )

=> AM = BM = MC 

có MA =MD => AM = MD =MB =MC

=> BM +MC = AM +MD hay BC =AD

Xét \(\Delta BAC\)và \(\Delta DCA\)

AB =DC

AC chung

BC =DC

=> \(\Delta BAC\)= \(\Delta DCA\)(ccc)

c. Xét \(\Delta ABM\)

BM=AM

\(\widehat{ABM}\)= 60⁰

^{=> đpcm}

câu 6; 

 Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ECM\)

BM =MC ( M là trung điểm của BC)

MA =ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\)( đối đỉnh )

=> \(\Delta ABM\)= \(\Delta ECM\)(cgc)

=> AB =CE và \(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\)

có AB < AC => CE < AC

Xét \(\Delta CAE\) có CA>CE => \(\widehat{CAE}>\widehat{CEA}\)

có \(\widehat{MAB}=\widehat{CEA}\)=> đpcm

a) Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

BM = CM (gt)

AM =DM (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)  (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CMD\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\Delta AMB=\Delta CMD\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{DCM}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên AB //CD.

c) Xét tam giác AME có MH là đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác AME cân tại M.

Suy ra MA = ME

Lại có MA = MD nên ME = MD.

d) Xét tam giac AED có MA = ME = MD nê tam giác AED vuông tại E.

Suy ra ED // BC

Xét tam giác cân MED có MK là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy thì \(MK\perp ED\Rightarrow MK\perp BC\)

NGU

Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

4:

b: Xét tứ gác ABEC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AE

Do đó: ABEC là hình bình hành

Suy ra: AB//CD

a, tam giác ABC vuông tại A (gt) => BC^2 = AC^2 + AB^2 (pytago)

BC = 10; AB = 8 (Gt)

=> AC^2 = 10^2 - 8^2

=> AC^2 = 36

=> AC = 6 do AC > 0

b, xét tam giác AMB và tam giác DMC có : AM = MD (gt)

BM = MC do M là trung điểm của BC(gt)

^BMA = ^DMC (đối đỉnh)

=> tam giác AMB = tam giác DMC (c-g-c)

=> ^ABM = ^MCD mà 2 góc này slt

=> AB // CD 

AB _|_ AC

=> CD _|_ AC 

c, xét tam giác ACE có : AH _|_ AE 

AH = HE

=> tam giác ACE cân tại C 

d, xét tam giác BMD và tam giác CMA có L BM = MC

AM = MD

^BMD = ^CMA

=> tam giác BMD = tam giác CMA (c-g-c)

=> BD = AC

AC = CE do tam giác ACE cân tại C (câu c)

=> BD = CE