\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1\right)\) nên pt AB có dạng:

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+y-5=0\)

Do I thuộc AB nên tọa độ có dạng: \(I\left(a;5-a\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}=\left(2-a;a-2\right)\\\overrightarrow{IB}=\left(1-a;a-1\right)\\\overrightarrow{IC}=\left(-1-a;a-10\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\left(-9a;9a-55\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}\right|=\sqrt{\left(9a\right)^2+\left(55-9a\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(9a+55-9a\right)^2}=\dfrac{55}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(9a=55-9a\Rightarrow a=\dfrac{55}{18}\Rightarrow I\left(\dfrac{55}{18};\dfrac{35}{18}\right)\)

Kiểm tra lại tính toán

Trung điểm I của AB là: \(I\left(5;6\right)\)

Ta gọi pt đường thẳng AB có dạng: \(y=ax+b\)

\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5=a.4+b\\7=a.6+b\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\rightarrow\end{matrix}\right.AB:y=x+1\)

Gọi pt đường trung trực của AB là: \(y=ax+b\left(1\right)\)

Do (d) vuông góc với AB và d đi qua I nên:

\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.1=-1\\6=a.4+b\end{matrix}\right.\)\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=10\end{matrix}\right.\)\(\rightarrow\left(d\right):y=-x+10\)

Đáp án C

Giả sử tọa độ M(x;0). Khi đó \(\overrightarrow{MA}=\left(1-x;2\right);\overrightarrow{MB}=\left(4-x;3\right)\)

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos45^0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(4-x\right)+6=\sqrt{\left(1-x\right)^2+4}.\sqrt{\left(4-x\right)^2+9}.\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+10=\sqrt{x^2-2x+5}.\sqrt{x^2-8x+25}.\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-5x+10\right)^2=\left(x^2-5x+10\right)\left(x^2-8x+25\right)\) (do \(x^2-5x+10>0\))

\(\Leftrightarrow x^4-10x^3+44x^2-110x+75=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-5\right)\left(x^2-4x+15\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1;x=5\)

Vậy ta có 2 điểm cần tìm là M(1;0) hoặc M(5;0)

\(S=\dfrac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(x_C-x_A\right)\left(y_B-y_A\right)\right|\)

\(=\dfrac{1}{2}\left|\left(2-1\right)\left(-8+5\right)-\left(13-1\right)\left(1+5\right)\right|=\dfrac{75}{2}\)

M thuộc Oy nên M(0;y)

\(MA=2\)

=>\(\sqrt{\left(-3-0\right)^2+\left(1-y\right)^2}=2\)

=>(y-1)^2+9=4

=>(y-1)^2=-5(loại)

=>