Ta có: \(AD=DE=EF=FB=\dfrac{1}{4}AB\) và \(AM=MN=NP=PC=\dfrac{1}{4}AC\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow EN//BC\) \(\Rightarrow\) EN là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow EN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{15}{2}=7,5\left(cm\right)\)

Tương tự với tam giác AEN có: \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow DM//EN\)

\(\Rightarrow\)DM là đường trung bình của tam giác AEN

\(\Rightarrow DM=\dfrac{EN}{2}=\dfrac{7,5}{2}=3,75\left(cm\right)\)

Lại có: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AN}{AP}=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng định lí Ta-let đảo ta có: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AN}{AP}=\dfrac{EN}{FP}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{7,5}{FP}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow FP=11,25cm\)

a) Ta có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3};\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác \(AFE\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{2}{3}\)

\(\widehat A\) chung

Do đó, \(\Delta AFE\backsim\Delta ABC\) (c.g.c)

Do đó, \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Do đó, \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EF = \frac{{BC.2}}{3} = \frac{{18.2}}{3} = 12\)

Vậy \(BC = 12cm\).

b) Vì \(FC = FD\) nên tam giác \(FDC\) cân tại \(F\).

Suy ra, \(\widehat {FDC} = \widehat {FCD}\) (tính chất)

Ta có:

\(\frac{{AC}}{{MD}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4};\frac{{BC}}{{DE}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\)

Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(MED\) ta có:

\(\frac{{AC}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{3}{4}\)

\(\widehat {FCD} = \widehat {FDC}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta MED\) (c.g.c).

Xét ΔANM và ΔABC có

AN/AB=AM/AC

\(\widehat{NAM}\) chung

Do đó: ΔANM\(\sim\)ΔABC

Sửa đề: ΔABC vuông tại A

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

vậy: BC=10cm

b) Xét ΔAMC và ΔEMB có 

CM=BM(M là trung điểm của BC)

\(\widehat{AMC}=\widehat{BME}\)(hai  góc đối đỉnh)

MA=ME(gt)

Do đó: ΔAMC=ΔEMB(c-g-c)

Suy ra: AC=BE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAMB và ΔEMC có 

AM=EM(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAMB=ΔEMC(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{BAM}=\widehat{CEM}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BAM}\) và \(\widehat{CEM}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)