a: Xet ΔABD vuông tại B và ΔAHD vuông tại H có

AD chung

góc BAD=góc HAD

=>ΔABD=ΔAHD

b; AB=AH

DB=DH

=>AD là trung trực của BH

c: Xet ΔDBI vuông tại B và ΔDHC vuông tại H có

DB=DH

góc BDI=góc HDC

=>ΔBDI=ΔHDC

=>DI=DC

=>ΔDIC cân tại D

d: Xét ΔAIC có AB/BI=AH/HC

nên BH//IC

e: AD vuông góc BH

BH//IC

=>AD vuông góc IC

Lời giải:
a. Xét tam giác $ABD$ và $AED$ có:

$AB=AE$ (gt)

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (tính chất tia phân giác)

$AD$ chung

$\Rightarrow \triangle ABD=\triangle AED$ (c.g.c)

b.

Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra $BD=ED$ và $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$

$\Rightarrow 180^0-\widehat{ABD}=180^0-\widehat{AED}$

$\Rightarrow \widehat{DBM}=\widehat{DEC}$

Xét tam giác $DBM$ và $DEC$ có:

$\widehat{BDM}=\widehat{EDC}$ (đối đỉnh)

$BD=ED$ (cmt)

$\widehat{DBM}=\widehat{DEC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle DBM=\triangle DEC$ (g.c.g)

Hình vẽ:

a: Xét ΔABD và ΔAED có 

AB=AE

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAED

b: Ta có: ΔABD=ΔAED

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)

mà \(\widehat{MBD}=180^0-\widehat{ABD}\)

và \(\widehat{CED}=180^0-\widehat{AED}\)

nên \(\widehat{MBD}=\widehat{CED}\)

Xét ΔMBD và ΔCED có 

\(\widehat{MBD}=\widehat{CED}\)

DB=DE

\(\widehat{BDM}=\widehat{EDC}\)

Do đó: ΔMBD=ΔCED

câu hỏi của đề đâu bạn ơi?

xét ΔABC và ΔMDC ta có

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{DMC}=90^o\left(gt\right)\)

=>ΔABC ∼ ΔMDC(g.g)

hình vẽ

Lời giải:
a. Xét tam giác  và  có:

 (gt)

ˆBAD=ˆEADBAD^=EAD^ (tính chất tia phân giác)

 chung

 (c.g.c)

b.

Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra  và ˆABD=ˆAEDABD^=AED^

⇒1800−ˆABD=1800−ˆAED⇒1800−ABD^=1800−AED^

⇒ˆDBM=ˆDEC⇒DBM^=DEC^

Xét tam giác  và  có:

ˆBDM=ˆEDCBDM^=EDC^ (đối đỉnh)

 (cmt)

ˆDBM=ˆDECDBM^=DEC^ (cmt)

 (g.c.g)

Bài giải: Ta có: AB/AC = 8/15 => AB/8 = AC/15

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào t/giác ABC , ta có:

      BC² = AB² + AC² 

=> 51² = AB² + AC² 

=> 2601 = AB² + AC²

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau

Từ \(\frac{AB}{8}=\frac{AC}{15}\)=> \(\frac{AB^2}{64}=\frac{AC^2}{225}=\frac{AB^2+AC^2}{64+225}=\frac{2601}{289}=9\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{AB^2}{64}=9\\\frac{AC^2}{225}=9\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}AB^2=9.64=576\\AC^2=9.225=2025\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}AB=24\\AC=45\end{cases}}\)

Vậy ...

b) tự lm

\(\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}\Rightarrow\frac{AB}{8}=\frac{AC}{15}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{8}\right)^2=\left(\frac{AC}{15}\right)^2=\frac{AB^2}{64}=\frac{AC^2}{225}=\frac{AB^2+AC^2}{64+225}=\frac{BC^2}{289}=\frac{51^2}{289}=9\)

\(\Rightarrow+)\frac{AB^2}{64}=9\Rightarrow AB=24\left(cm\right)\)

        \(+)\frac{AC^2}{225}=9\Rightarrow25\left(cm\right)\)

Hai tam giác ABN và ACM bằng nhau (\(\widehat{A}\) chung; AB=AC; \(\widehat{ABN}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}=\widehat{ACM}\))

\(\Rightarrow AM=AN\) \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow MN||BC\)

Áp dụng định lý phân giác: \(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{AM}{AM+BM}=\dfrac{AC}{AC+BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AC+BC}=\dfrac{a}{a+b}\)

Theo cmt MN//BC, áp dụng định lý Talet:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{a}{a+b}\Rightarrow MN=\dfrac{ab}{a+b}\)