Tam giác ABC có chu vi bằng 1 , các cạnh a,b,c thỏa mãn đẳng thức
\(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}\) . Chứng minh tam giác ABC đều
Tam giác ABC có chu vi bằng 1 các cạnh a,b,c thỏa mãn đẳng thức
\(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}\)
CM tam giác ABC đều
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x\\a+c=y\\a+b=z\end{cases}}\)với x,y,z dương và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Ta có \(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Với x=y=z thì a=b=c => tam giác ABC đều
Cách khác :
Chu vi tam giác bằng 1 suy ra \(a+b+c=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a=b+c\\1-b=c+a\\1-c=a+b\end{cases}}\)
Nên đẳng thức viết lại thành: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{3}{2}\)
Ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy tam giác ABC đều.
Tam giác ABC có chu vi bằng 1 các cạnh a,b,c thỏa mãn đẳng thức:
a/1-a + b/1-b + c/1-c=3/2 chứng minh tam giác ABC đều
Tam giác ABC có chu vi bằng 1 các cạnh a,b,c thỏa mãn đẳng thức:
a/1-a + b/1-b + c/1-c=3/2.C/m: Tam giác ABC đều
chu vi = 1 => a+b+c=1
viết lại đẳng thức: a/(a+b+c-a)+ b/(a+b+c-b) + c/(a+b+c-c) = 3/2
<=>a/b+c + b/c+a + c/a+b = 3/2
cộng 3 vào 2 vế rút ra được (a+b+c)(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a ) = 9/2
<=>1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)=9/2(do a+b+c=1)
Sử dụng bđt Schwarz : 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a) >/ (1+1+1)2/2(a+b+c) = 9/2
đẳng thức xảy ra <=> a+b=b+c=c+a <=> a=b=c ta có đpcm
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh a, b, c thỏa mãn \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{abc}=9\)
Chứng minh rằng tam giác ABC đều
a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .
ta áp dụng (a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)) >=9
dễ chứng minh bdt phụ này
rùi từ đây suy ra 3(a-b)(b-c)(c-a) = 0 => a=b=c (1)
mà lên bđt phụ trên thì xảy ra khi a=b=c (1)
từ (1) , (2) , ta suy ra a=b=c hay đpcm
vì k chặt chẽ lắm nên thông cảm
Cho tam giác ABC ,chu vi=1 Các cạnh a, b, c tm
\(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}\)
Cm tam giác ABC đều
chứng minh nếu tam giác ABC có 3 góc A , B , C và 3 cạnh a , b , c thỏa mãn đẳng thức sau thì tam giác ABC vuông : \(\frac{b}{\cos B}\) + \(\frac{c}{\cos C}\) = \(\frac{a}{\sin B.\sin C}\)
chứng minh nếu tam giác ABC có 3 góc A , B , C và 3 cạnh a , b , c thỏa mãn đẳng thức sau thì tam giác ABC vuông : \(\frac{b}{\cos B}\) + \(\frac{c}{\cos C}\) = \(\frac{a}{\sin B\times\sin C}\)
định lý hàm số sin:
a/ \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\)2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180o - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
\(\frac{2R\times sinB}{cosB}+\frac{2R\times sinC}{cosC}=\frac{2R\times sin\left(B+C\right)}{sinBsinC}\)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 90o
vậy tam giác ABC vuông tại A
chứng minh nếu tam giác ABC có 3 góc A , B , C và 3 cạnh a , b , c thỏa mãn đẳng thức sau thì tam giác ABC vuông : \(\frac{b}{\cos B}\) + \(\frac{c}{\cos C}\) = \(\frac{a}{\sin B\times\sin C}\)
b/cosB+c/cosC=a/sinB.sinC (*)
Áp dụng định lý hàm số sin:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[1800 - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
2R.sinB/cosB + 2RsinC/cosC = 2R.sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 900
ai trả lời đúng và nhanh mk t.i.c.k nhé !
Bài 1 :
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 24cm và các cạnh a, b, c tỉ lệ với 3, 4, 5.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC
b) Tam giác ABC là tam giác gì
Bài 2 :
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Chứng minh
a) \(\frac{5a+5b}{5b}=\frac{c^2+cd}{cd}\)
b) \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2-ac}{b^2-bd}\)
Bài 1 :
a ) Vì tam giác ABC có chu vi bằng 24
=> AB + AC + BC = 24
hay a + b + c = 24
Vì 3 cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với 3,4,5
=> a/3 = b/4 = c/5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
a/3 = b/4 = c/5 = ( a + b + c ) / ( 3 + 4 + 5 ) = 24/12 = 2
=> a = 6 ; b = 8 ; c = 10
b ) Vì a = 6 => a2 = 36
b = 8 => b2 = 64
c = 10 => c2 = 100
MÀ 100 = 36 + 64 hay c2 = a2 + b2
Xét tam giác ABC có c2 = a2 + b2 ( cmt )
=> tam giác ABC là tam giác vuông ( định lí đảo định lí pytago )
Vậy ...
Bài 2 :
Đặt a/b = c/d = t ( t khác 0 ) => a = bt ; c = dt
Khi đó :
\(\frac{5a+5b}{5b}=\frac{5bt+5b}{5b}=\frac{5b\left(t+1\right)}{5b}=t+1\)( 1 )
\(\frac{c^2+cd}{cd}=\frac{\left(dt\right)^2+dtd}{dtd}=\frac{d^2t^2+d^2t}{d^2t}=t+1\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có dpcm
b ) ( chứng minh tương tự )