Cho phương trình : \(x^2+px-1=0\)(p lẻ) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
Đặt \(S_n=x_1^n+x_2^n\)
CMR: Nếu n là số tự nhiên thi \(S_n\)và \(S_{n+1}\)nguyên tố cùng nhau
Cho \(x_1;x_2;x_3\) là 3 nghiệm của phương trình \(x^3-4x^2+2x+4=0\) thỏa mãn:
\(S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n\) CMR: \(S_n\) là 1 số nguyên
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)
Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên
\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)
\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)
Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2-mx+1=0 với m nguyên lớn hơn 3
CMR: \(S_n=x_1^n+x_2^n\)là số nguyên và không chia hết cho m-1
Tìm tất cả các số hữu tỉ a, b sao cho \(x=1+\sqrt{3}\) là nghiệm của phương trình:
\(3x^3+dx^2+bx+c=0\) .Gọi \(x_1,x_2,x_3\) là nghiệm của phương trình \(S_n=x_1^n+x^n_2+x_3^n\) . Chứng minh rằng: \(S_n\in\) Z
Cho PT \(ax^2+px-1=0\) ( p lẻ ) có hai nghiệm phân biệt x1và x2 . Chứng minh nếu n là số tự nhiên thì \(x_1^n+x_2^n\) và \(x_1^{n+1}+x_2^{n+1}\) là các số nguyên tố cùng nhau .
(Nghi binh 19/09)
Không khó nhưng thử thách sự kiên nhẫn:
Cho phương trình: \(x^3+ax^2+bx-1=0\)(1)
a) Tìm các số hữu tỉ a,b để phương trình (1) có nghiệm \(x=2-\sqrt{3}\)
b) Với giá trị a,b tìm được, gọi \(x_1,x_2,x_3\)là 3 nghiệm của phương trình (1) và đặt:
\(S_n=\frac{1}{x_1^n}+\frac{1}{x_2^n}+\frac{1}{x_3^n}\)
Tính \(S_5\)và chứng minh rằng \(S_n\in Z\)
a) Phương trình có nghiệm \(x=2-\sqrt{3}\) nên :
\(\left(2-\sqrt{3}\right)^3+a.\left(2-\sqrt{3}\right)^2+\left(2-\sqrt{3}\right)b-1=0\)
\(\Leftrightarrow20-11\sqrt{3}+a.\left(7-4\sqrt{3}\right)+2b-b\sqrt{3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow7a+2b+19=\sqrt{3}.\left(11+4a+b\right)\) (*)
Với a,b là các số hữu tỉ thì từ (*) suy ra :
\(\hept{\begin{cases}7a+2b+19=0\\11+4a+b=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-1\end{cases}}\) ( Thỏa mãn )
b) Hóng cách làm vì mình không biết làm :((
Cho phương trình \(x^2-3x+1=0\) gọi x1,x2 là hai nghiệm của pt,đặt Sn= x1^n + x2^n
chứng minh rằng \(S_n\) là số nguyên với mọi n nguyên
Bài này phải là n nguyên dương nhé
Ta có bài toán tổng quát : Cho pt \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\)có 2 nghiệm x1 ; x2
Đặt \(S_n=x_1^n+x_2^n\)thì pt \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0\)cũng có nghiệm với n nguyên dương
Thật vậy Có : \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=a\left(x_1^{n+2}+x_2^{n+2}\right)+b\left(x_1^{n+1}+x_2^{n+1}\right)+c\left(x_1^n+x_2^n\right)\)
\(=x_1^n\left(ax_1^2+bx_1+c\right)+x_2^n\left(ax_2^2+bx_2+c\right)\)
\(=0\)
Vậy bài toán đc c/m
Áp dụng bài toán trên :pt \(x^2-3x+1=0\)Có nghiệm nên
pt \(s_{n+2}-3S_{n+1}+S_n=0\)cũng có nghiệm
\(\Rightarrow S_{n+2}=3S_{n+1}-S_n\)
Ta sẽ c/m Sn là số nguyên bằng phương pháp quy nạp
Với \(n=0\Rightarrow S_0=2\inℤ\)
Với \(n=1\Rightarrow S_1=3\inℤ\)
Với \(n=2\Rightarrow S_2=7\inℤ\)
Giả sử bài toán đúng với .n = k và n = k + 1 (k là stn)
Ta phải c/m phải toán đúng với n = k + 2
Có \(S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k\inℤ\left(Do\text{ }S_{k+1};S_k\inℤ\right)\)
Vậy \(S_n\inℤ\forall n\inℕ^∗\)
Giả sử \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt : \(x^2+px-1=0\) (\(p\in Z\), p lẻ)
CMR với mọi n là số nguyên dương thì
\(Sn=x_1^n+x_2^n\) và \(Sn+1=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}\) là các số nguyên tố cùng nhau
Cho tổng \(S_n=1+2+3+...+n\)
Chứng minh \(S_n+S_{n+1}\)là 1 số chính phương
Cho phương trình: x2 - (m + 2).x + 2m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1.x_2}{4}\)
Δ=(m+2)^2-4*2m=(m-2)^2
Để PT có hai nghiệm pb thì m-2<>0
=>m<>2
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1x_2}{4}\)
=>\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1x_2}{4}\)
=>\(\dfrac{m+2}{2m}=\dfrac{2m}{4}=\dfrac{m}{2}\)
=>2m^2=2m+4
=>m^2-m-2=0
=>m=2(loại) hoặc m=-1