Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
M1014-AWM

Cho \(x_1;x_2;x_3\) là 3 nghiệm của phương trình \(x^3-4x^2+2x+4=0\) thỏa mãn:

\(S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n\) CMR: \(S_n\) là 1 số nguyên

Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 3 2021 lúc 15:02

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)

Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên

\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn

\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn

\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)

\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Dung Đặng Phương
Xem chi tiết
KCLH Kedokatoji
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Dưa Hấu
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Anh
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
Xem chi tiết
Xem chi tiết
✓ ℍɠŞ_ŦƦùM $₦G ✓
Xem chi tiết
Đồ Ngốc
Xem chi tiết