\(4\left(m+n\right)^2-mn⋮15^2\Rightarrow4\left(4\left(m+n\right)^2-mn\right)⋮15^2\)

\(\Rightarrow16\left(m+n\right)^2-4mn⋮15^2\Rightarrow15\left(m+n\right)^2+\left(m-n\right)^2⋮15^2\Rightarrow15\left(m+n\right)^2+\left(m-n\right)^2⋮15\)

Mà \(15\left(m+n\right)^2⋮15\Rightarrow\left(m-n\right)^2⋮15\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-n\right)^2⋮3\\\left(m-n\right)^2⋮5\end{matrix}\right.\)

Do 3 và 5 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-n⋮3\\m-n⋮5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m-n⋮15\Rightarrow\left(m-n\right)^2⋮15^2\)

\(\Rightarrow15\left(m+n\right)^2⋮15^2\Rightarrow\left(m+n\right)^2⋮15\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+n\right)^2⋮3\\\left(m+n\right)^2⋮5\end{matrix}\right.\)

Mà 3; 5 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+n⋮3\\m+n⋮5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m+n⋮15\Rightarrow\left(m+n\right)^2⋮15^2\)

Áp dụng kết quả này vào điều kiện ban đầu: \(4\left(m+n\right)^2-mn⋮15^2\) , mà ta \(\left(m+n\right)^2⋮15^2\) \(\Rightarrow mn⋮15^2\)

Akai Haruma

Cô giúp em với ạ!!!!

Do \(5\left(a+b\right)^2+ab\)chia hết cho 441 = 21² nên

\(4\left(5\left(a+b\right)^2+ab\right)=20\left(a+b\right)^2+4ab\)chia hết cho 21²

Ta lại có

\(20\left(a+b\right)^2+4ab=20\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)

\(=21\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)

Vì 21(a+b)² chia hết cho 21 nên (a - b)² chia hết cho 21

Ta thấy rằng 21 = 3.7 (3,7 là hai số nguyên tố)

Nên (a - b)² chia hết cho 3 và 7

=> (a - b) chia hết cho 3 và 7 (vì 3, 7 là số nguyên tố)

=> (a - b) chia hết cho 21

=> (a - b)² chia hết cho 21² 

Kết hợp với \(21\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)chia hết cho 21²

=> 21(a + b)² chia hết cho 21²

=> (a + b) chia hết cho 21

Chứng minh tương tự ta se suy ra được (a + b)² chia hết cho 21²

=> 5(a + b)² chia hết cho 21²

=> ab chia hết cho 21² = 441

 \(A\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-1\right)+4\)(1)

 \(A\left(x\right)=P\left(x\right)\left(x-3\right)+14\)(2)

\(A\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)T\left(x\right)+F\left(x\right)\)(3)

Đặt : \(F\left(x\right)=ax+b\)

Với x=1  từ (1) và (3) 

\(\hept{\begin{cases}A\left(1\right)=4\\A\left(1\right)=a+b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b=4\)(*)

Với x=3 từ (3) và (2)

\(\hept{\begin{cases}A\left(3\right)=14\\A\left(3\right)=3a+b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3a+b=14\)(**)

Từ (*) và (**)

\(\Rightarrow2a=10\Rightarrow a=5\Rightarrow b=-1\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=ax+b=5x-1\)

T lm r, ko bt có đúng ko:))

\(A=\dfrac{m^2+5m+n^2+5n+2mn-6}{m^2+6m+n^2+6n+2mn}\)

\(=\dfrac{\left(m+n\right)^2+5\left(m+n\right)-6}{\left(m+n\right)^2+6\left(m+n\right)}\)

\(=\dfrac{2013^2+5\cdot2013-6}{2013^2+6\cdot2013}=\dfrac{2012}{2013}\)

a/ Để hàm số này là hàm bậc nhất thì

\(\hept{\begin{cases}\left(3n-1\right)\left(2m+3\right)=0\\4m+3\ne0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=\frac{1}{3}\\m=\frac{-3}{2}\end{cases}}\)

Các câu còn lại làm tương tự nhé bạn

NHAMMATTAOCUNGLAMDUOC

\(\orbr{\begin{cases}n=\frac{1}{3}va\:\:m\ne\frac{-3}{4}\\m=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)

Mình nhầm sorry nhé

Ta có : 

(n,6) = 1 => n phải là số lẻ ( nếu n chẵn thì ( n,6) = 2 )

=> n - 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp 

=> ( n - 1 )(n + 1 ) chia hết cho 8 

(n,6) = 1 => n không chia hết cho 3

=> n sẽ có dạng là 3k +1 ; 3k + 2 ( k thuộc Z )

Với n = 3k +1 => n -1 = 3k + 1 -1 = 3k chia hết cho 3  => (n - 1)(n+1) chia hết cho 3 

Với n = 3k + 2 => n + 1 = 3k + 2 +1 = 3k+ 3 chia hết cho 3 => ( n -1 )(n +1) chia hết cho 3 

Với cả 2TH => ( n-1)(n+1) chia hết cho 3 

Mà (8,3)= 1 => (n-1)(n+1) chia hết cho 24 ( đpcm)

ta có \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)⋮3\) mà UCLN (3,n) = 1

nên \(\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮3\) (1)

n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n là số lẻ, p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp

Trong số hai số chẵn liên tiếp , có một số là bội của 4 nên tích chúng chia hết cho 8  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮3và8\)

Mà UCLN (3,8) = 1

nên \(\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮24\)