Với \(n=0\Rightarrow6n^2-5n-1=-1\) ko phải hợp số

Với \(n=1\Rightarrow6n^2-5n-1=0\) ko phải hợp số

Với \(n=2\Rightarrow6n^2-5n-1=13\) ko là hợp số

Với \(n>2\Rightarrow A=6n^2-5n-1=\left(n-1\right)\left(6n+1\right)\)

\(\Rightarrow A\) luôn có ít nhất 2 ước lớn hơn 1 \(\Rightarrow A\) là hợp số

Vậy với \(n>2\) thì biểu thức trên là hợp số, nhỏ hơn hoặc bằng 2 thì ko là hợp số

Biến đổi thành : \(n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\) rồi thay n=2k vào ta được 8k(k+1)(k+2)

48 =3.16 =3.2.8

cần c/m chia hết ch 3.2.8

\(\left\{{}\begin{matrix}A=n^3+6n^2+8n\\n=2k;k\in Z\end{matrix}\right.\)

\(A=8.k^3+24k^2+16k=8k\left(k^2+3k+2\right)\)

\(A=8k\left[k^2-1+3k+3\right]=8k\left(k-1\right)\left(k+1\right)+8.3.k\left(k+1\right)\)

\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

có k(k+1)(k+2) ba số nguyên liên tiếp => chia hết cho 6

=> A chia hết cho 8.6 =48 => dpcm

Ta có :

   3n + 2 / 5n + 3

= 3 + 2 / 5 + 3

= 5/8

5/8 là phân số tối giản nên 3n + 2 / 5n + 3

1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.