\(K=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y-13\)

\(K=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y-\left(2\cdot3+6\cdot1+1\right)\)

\(K=\left(2x^2+2y^2+2xy-2\cdot3\right)-\left(6x+6y+6\cdot1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-6\left(x+y+1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-2\cdot3\left(x+y+1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-2\cdot\left(3x+3y+3\cdot1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3-3x-3y-3\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y-3-3\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y-6\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y\right)-2\cdot6-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y\right)-13\)

\(K=2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]-13\)

Để \(K\) là \(GTNN\) thì \(2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]\) phải có \(GTNN;\)

Để \(2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]\) là \(GTNN\)( không xét \(x\cdot y\))  thì ta có:

\(-3y+y^2\inℤ\) và phải có \(GTNN\) (1)

\(3x-x^2\inℕ\) và phải có \(GTLN\) (2)

Để thỏa mãn (1) thì \(y\in\left\{1,2\right\}\) (do \(-3\cdot1+1^2=-3\cdot2+2^2\)) và \(x\in\left\{1,2\right\}\) vì lý do tương tự (1).

Nhưng (1) cần càng nhỏ càng tốt và (2) thì ngược lại\(\Rightarrow y=1;x=2\) (chỉ mới là giả thuyết do chưa xét \(x\cdot y\))

Xét với mọi trường hợp:

K trong mọi trường hợp \(x\ne2;y\ne1\)luôn lớn hơn K trong trường hợp \(x=2;y=1\Rightarrow\) chắc chắn \(x=2;y=1\)

Thay \(x\) trong biểu thức của đề bài thành \(1\); \(y\) thành \(2\);giải ra được \(GTNN\) của \(K=\left(-17\right)\)

2A = 4x² + 4xy + 4y² - 12x - 12y + 8040

= (2x + y)² - 6(2x + y) + 9 + 3y² - 6y + 3 + 8028

= (2x + y - 3)² + 3(y - 1)² + 8028 \(\ge8028\)

=> \(A\ge4014\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy Min A = 4014 khi x = y = 1

b, x² +y²+z² +2x-4y-6z+14=0

<=> (x²+2x+1)+(y²-4y+4)+(z²-6z+9)=0

<=> (x+1)²+(y-2)²+(z-3)²=0

=>(x+1)²=(y-2)²=(z-3)²=0

=>x+1=y-2=z-3=0

=> x=-1; y=2; z=3

c, 2x²+y²-6x-4y+2xy+5=0

<=> (x²+y²+4+2xy-4x-4y)+(x²-2x+1)=0

<=> (x+y-2)²+(x-1)²=0

=> (x+y-2)²=(x-1)²=0

=>x+y-2=x-1=0

=>x=1; y=1

b) \(D=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+5\)

\(\Leftrightarrow D=x^2+x^2+2xy+y^2+y^2-6x-6y+9+9-13\)

\(\Leftrightarrow D=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-6y+9\right)-13\)

\(\Leftrightarrow D=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2.x.3+3^2\right)+\left(y^2-2.y.3+3^2\right)-13\)

\(\Leftrightarrow D=\left(x+y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2-13\)

Vậy GTNN của \(D=-13\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x-3=0\\y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(2x-1\right)^2-\left(x+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P=\left(2x-1\right)^2-\left(x+2\right)^2+0\)

Vậy GTNN của \(P=0\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\\x+2=0\Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.\)

A= ( x^2 +2xy +y^2) - (4x +4y )+y^2-2y+6

   = [(x+y)^2- 2(x+y)2 + 4] +( y^2-2y +1)+1

   = (x+y-2)^2 + (y-1)^2 +1

=>A > hoặc = 1

Dấu "=" xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}x+y-2=0\\y-1=0\end{cases}}\)

                             => \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy Min A = 1 <=> x=y=1

\(x^2+2y^2+2xy-2x-6y+2015\\ =\left(x^2+y^2+1^2+2.x.y-2.x-2.y\right)+\left(y^2-4y+4\right)+2010\\ =\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-1\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\ge2010\)

đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

vậy GTNN của biểu thức là 2010 khi và chỉ khi x=-1 và y=2