theo BĐT cô - si ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) \(\left(a\ge0,b\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b+a+b\ge2\sqrt{ab}+a+b\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a+2b\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{4}\cdot2\cdot\left(a+b\right)\ge\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)

Biến đổi tương đương đi

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

P/s: em ko chắc..

1. Ta có:

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Nếu a, b ≥ 0)

=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

=> \(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+2\sqrt{ab}\ge0+2\sqrt{ab}\)

=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) => \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}\)

=> \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{ab}\);

(Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\) => a = b)

1. BĐT \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

2. BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

3. Ta có: \(M=\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{2}{\sqrt{1003\cdot1003}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\sqrt{1\cdot2005}\le\frac{1+2005}{2}=1003\)

Do dấu "=" không xảy ra nên \(\sqrt{1\cdot2005}< 1003\)

Khi đó: \(\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}>\frac{2}{1003}\)

Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng vế ta được :

\(M>\frac{2006}{1003}>\frac{2005}{1003}\) ( đpcm )

Em có cách khác ở bài 2 nè:) Nhưng thôi làm 2 bài luôn bài 3 ý tưởng y hệt hà..

Bài 1: BĐT \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\left(true\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Bài 2: BĐT trên là thuần nhất (hay đồng bậc gì ấy) nên ta chuẩn hóa a + b =2.

Cần chứng minh: \(1\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Thật vậy theo Cô si: \(RHS\left(VP\right)=\frac{\sqrt{1.a}+\sqrt{1.b}}{2}\le\frac{\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}}{2}=\frac{a+b+2}{4}=1=LHS\left(VT\right)\)

Ta có đpcm. True?

Áp dụng Cauchy ta có :

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)(1)

\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b}\)(2)

Cộng vế của (1) và (2) ta được :

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\) (đpcm)

bđt cần c/m tương đương với:

\(\left(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)+\left(\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)+\left(\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\\ \ \)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)

Mặt khác:

\(a+b+c\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

=> \(VT\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

Ta cần c/m: 

\(3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)

<=> \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)(BĐt Cô-si)

xong rồi bạn nhé

dit me may

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2.\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)

Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b}\)

Cộng theo vế BĐT ta được:\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)

⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2

⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự

⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y

⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0

(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)

dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c

Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33 

Ha~ Idol về mảng copy nay giỏi quá lè:33. Tác hại của việc copy paste là đây

Lần sai copy paste nhớ nhìn lại với chỉnh sửa đi nhá. Ko để này lộ liễu bôi bác lắm

Copy always mà vẫn 50k giải tuần đấy, ghê=))

Áp dụng bđt Cauchy, ta có:

\(\sqrt{\frac{a}{bc}}\)+\(\sqrt{\frac{b}{ca}}\)≥ \(2\sqrt{\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}}\)= \(2\sqrt{\sqrt{\frac{1}{c^2}}}\)= \(2\sqrt{\frac{1}{c}}\) (vì c>0)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{ca}}\)+\(\sqrt{\frac{c}{ab}}\)≥ \(2\sqrt{\frac{1}{a}}\)

                \(\sqrt{\frac{c}{ab}}\)+\(\sqrt{\frac{a}{bc}}\)≥ \(2\sqrt{\frac{1}{b}}\)

Cộng vế theo vế của các bđt với nhau, ta có: \(2\)\(\left(\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}\right)\text{≥}\)\(2\left(\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{c}}\right)\)

                                                             <=> \(\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}\text{≥}\)\(\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{c}}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c