\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.1-4.\left(-2\right)+4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{15}{5}=3\)

mf (a) đi wa O(0;0;0) có VTPT :n_a=u_d =(1,2,3) →pt :x+2y+3z=0

M ϵ d → M( t; -1+2t; -2+3t)      d(M; (p))=2= \(\frac{5-t}{\sqrt{5}}\)   tìm đk : t=5+2\(\sqrt{5}\)  và t=5-2\(\sqrt{5}\)    →tìm đk 2 tọa độ M

a ) Phương trình hoành độ của đường thẳng (d) và parapo (P) là :

\(x^2=\left(k-1\right)x+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(k-1\right)x-2=0\)

\(\Delta=\left(k-1\right)^2+8=k^2-2k+9>0\)

Vì đen - ta lớn hơn 0 nên với mọi k thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .

b ) Theo hệ thức vi-et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=k-1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(k-1\right)^2+4\\y_1y_2=\left(x_1x_2\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài \(y_1+y_2=y_1y_2\)

\(\Rightarrow\left(k-1\right)^2+4=4\)

\(\Rightarrow k=1\)

Gọi tâm I thuộc d : 3x-y-3=0 nên \(I\left(a;3a-2\right)\)Vì (C) đi qua A và B nên ta có IA=IB

\(\overrightarrow{IA}=\left(3-a;3-3a\right)\Rightarrow IA^2=\left(3-a\right)^2+\left(3-3a\right)^2\)

\(\overrightarrow{IB}=\left(-1-a;5-3a\right)\Rightarrow IB^2=\left(1+a\right)^2+\left(5-3a\right)^2\) 

Có IA=IB nên \(\left(3-a\right)^2+\left(3-3a\right)^2=\left(1+a\right)^2+\left(5-3a\right)^2\Leftrightarrow-8+4a=0\Leftrightarrow a=2\) Vậy I(2;4) \(R=IA=\sqrt{10}\)

Vậy ptdt (C) là : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=10\)

Do \(M\in d\Rightarrow M\left(3m;4-4m\right)\)

Gọi \(N\left(x;y\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AN}=\left(x-1;y-1\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(3m-1;3-4m\right)\end{matrix}\right.\)

Do A, M, N thẳng hàng nên ta có: \(\frac{x-1}{3m-1}=\frac{y-1}{3-4m}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3-4m\right)=\left(y-1\right)\left(3m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)-4m\left(x-1\right)=3m\left(y-1\right)-\left(y-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{3x+y-4}{4x+3y-7}\) (1)

Mặt khác \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=4\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3m-1\right)+\left(y-1\right)\left(3-4m\right)=4\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{x-3y+6}{3x-4y+1}\) (2)

Từ (1), (2) ta có: \(\frac{3x+y-4}{4x+3y-7}=\frac{x-3y+6}{3x-4y+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+y-4\right)\left(3x-4y+1\right)-\left(x-3y+6\right)\left(4x+3y-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow5x^2+5y^2-26x-54y+38=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{26}{5}x-\frac{54}{5}y+\frac{38}{5}=0\)

N nằm trên đường tròn tâm \(I\left(\frac{13}{5};\frac{27}{5}\right)\) bán kính \(R=\frac{2\sqrt{177}}{5}\)

Cách tính cơ bản là vậy, nhưng số hơi xấu nên có thể tính nhầm đoạn nào đó

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2+2ax+4a=0\)

\(\Delta'=a^2-4a>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a< 0\\a>4\end{matrix}\right.\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2a\\x_1x_2=4a\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=3\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2\left|x_1x_2\right|=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left|x_1x_2\right|=9\)

\(\Leftrightarrow4a^2-8a+8\left|a\right|=9\)

- Với \(a>0\) \(\Rightarrow4a^2=9\Rightarrow a^2=\frac{9}{4}\Rightarrow a=\frac{3}{2}< 4\left(l\right)\)

- Với \(a< 0\Rightarrow4a^2-16a-9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-\frac{1}{2}\\a=\frac{9}{2}>0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=-\frac{1}{2}\)