Bài 1: Phép biến hình

* d' có dạng : x + 3y + C = 0

A(2;0) thuộc d => A'(7;3) thuộc d'

=> 7 + 3 x 3 +C = 0 => C = -16

=> d' : x + 3y - 16 = 0

* (C) : \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{2}\) có tâm \(I\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)\)

=> (C') có tâm \(I'\left(\frac{13}{2};\frac{5}{2}\right)\)

(C') : \(\left(x-\frac{13}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{5}{2}\)

Lời giải:

Gọi $M(x,y)\in \Delta$ thì $M'(x', y')\in \Delta'$ thỏa mãn:

\(T_{\overrightarrow{u}}M'=M\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{M'M}=\overrightarrow{u}\)

\(\Leftrightarrow (x-x', y-y')=(-4,1)\Leftrightarrow x=x'-4; y=y'+1\)

Thay vào PT $\Delta$:

$x'-4+1=2(y'+1)$

$\Leftrightarrow x'-2y'-5=0$

Đây chính là ptđt $\Delta'$

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến nói trên

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2+3=5\\y_{M'}=-2+1=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(5;-1\right)\)

Đáp án A đúng

Gọi \(A\left(x;y\right)\) là 1 điểm thuộc (C)

Phép tính tiến theo \(\overrightarrow{v}\) biến A thành \(A'\left(x';y'\right)\) \(\Rightarrow A'\in\left(C'\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+a\\y'=y+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-a\\y=y'-b\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt (C):

\(y'-b=-\left(x'-a\right)^3+1\)

\(\Leftrightarrow y'=-x'^3+3ax'^2-3a^2x'+a^3+b\)

Đồng nhất hệ số với pt (C') ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}3a=3\\-3a^2=-3\\a^3+b=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow ab=2\)

1.

Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\) biến d thành d' cùng phương với d

\(\Rightarrow\) Phương trình d' có dạng: \(x+y+c=0\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(3;3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Do d' tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d'\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3+3+c\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left|c+6\right|=2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-8\\c=-4\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng d' thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+y-8=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\)

Ứng với đó ta có 2 dạng vecto \(\overrightarrow{v}=\left(a;8-a\right)\) hoặc \(\overrightarrow{v}=\left(a;4-a\right)\)

2.

Phương trình (C) là đường tròn khi và chỉ khi \(m^2-2m>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 0\end{matrix}\right.\)

Khi đó (C) là đường tròn tâm \(A\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{m^2-2m}\)

Pt (C'): \(\left(x-1\right)^2+y^2=2m^2-3m\)

(C') là pt đường tròn khi và chỉ khi \(2m^2-3m>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\frac{3}{2}\\m< 0\end{matrix}\right.\)

Khi đó (C') là đường tròn tâm \(B\left(1;0\right)\) bán kính \(\sqrt{2m^2-3m}\)

Tồn tại một phép tịnh tiến biến (C) thành (C') khi và chỉ khi (C) và (C') có cùng bán kính

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2-2m}=\sqrt{2m^2-3m}\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m=2m^2-3m\)

\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(l\right)\\m=1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn