Ta có:

0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)

Tương tự:

0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)

0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)

Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:

a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0

⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c

⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)

12632t54s jsd

Thay \(a=-\left(b+c\right)\) ; \(a+c=-b\) và \(a+b=-c\) vào điều kiện thứ 2 ta có 

\(\left(b+c\right)^2=2\left(-b+1\right)\left(-c-1\right)\)

 <=> \(b^2+c^2+2bc=2bc+2b-2c-2\)

<=> \(\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=-1\end{matrix}\right.\)

suy ra: a=0. Vậy A = a² + b² + c² = 2

- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)

- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\)  trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)

Vậy \(a=b=c=0\)

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

Ta có: a + b + c = 0

\(\Rightarrow\) (a + b + c)² = 0

\(\Leftrightarrow\) a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 0

\(\Leftrightarrow\) 2009 + 2(ab + bc + ac) = 0

\(\Leftrightarrow\) ab + bc + ac = \(\dfrac{-2009}{2}\)

\(\Leftrightarrow\) (ab + bc + ac)² = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) a²b² + b²c² + a²c² + 2abc(a + b + c) = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) a²b² + b²c² + c²a² = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)    (Vì a + b + c = 0)

Lại có: a² + b² + c² = 2009

\(\Rightarrow\) (a² + b² + c²)² = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2.\(\dfrac{2009^2}{4}\) = 2009²

\(\Leftrightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2009² - \(\dfrac{2009^2}{2}\) = 2018040,5

Chúc bn học tốt!

B=3 nhé bạn

\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)

\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)

Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)

\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)

Ta có -1 <= a <= 2

=> (a+1)(a-2) <=0

=> a^2 <=a+2 

Tương tự b,c 

Suy ra P <= a+b+c+6=6

Dấu = xảy ra khi (a,b,c) = (-1,-1,2) và hoán vị