Qua D kẻ DE // AB ( E \(\in\)AB )

Vì AD là phân giác góc A của \(\Delta ABC\):

\(\Rightarrow\)\(\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{DC}{DB+DC}=\frac{AC}{AB+AC}\)hay \(\frac{DC}{BC}=\frac{6}{3+6}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{DC}{BC}=\frac{2}{3}\)(1)

Ta có : AB là phân giác góc A \(\Rightarrow\)\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{120}{2}=60^0\)

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}=60^0\)( so le trong , DE // AB )

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{D_1}=60^0\Rightarrow\)\(\Delta ADE\)đều

\(\Rightarrow\)AD = DE 

Vì DE // AB ( cách dựng )

Xét \(\Delta ABC\)theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:\(\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\)(2)

Thế (1) vào (2) ta được :\(\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}\)hay \(\frac{DE}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow DE=\frac{2.3}{3}=2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AD=2\left(cm\right)\)( AD=DE chứng minh trên )

Suy ra tam giác ABE đều ⇒ AB = BE = EA = 6 (cm)     (1)

Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)

Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra:

amXét \(\Delta ABC\)có AD là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

Áp dụng tính chất của đường phân giác ,ta có:

\(\frac{DB}{DC}\)= \(\frac{AB}{AC}\)=\(\frac{4}{6}\)=\(\frac{2}{3}\)

b,theo câu a ta có :

\(\frac{DB}{DC}\)=\(\frac{2}{3}\)\(\Leftrightarrow\frac{DB}{3}\)=\(\frac{2}{3}\)

                         \(\Leftrightarrow DB=\frac{2.3}{3}\) 

                          \(\Leftrightarrow DB=2\)

Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

-Ta có: DE//AB, DF//AC (gt).

\(\Rightarrow\) AEDF là hình bình hành mà AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (gt).

\(\Rightarrow\) AEDF là hình thoi.

-Xét △ABC có: DF//AC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{BF}{AB}=\dfrac{DF}{AC}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow1-\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{DF}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DF}{AB}+\dfrac{DF}{AC}=1\)

\(\Rightarrow DF.\left(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\right)=1\)

\(\Rightarrow DF.\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right)=1\)

\(\Rightarrow DF.\dfrac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow DF=2\) (cm).

\(\Rightarrow P_{AEDF}=4.DF=4.2=8\left(cm\right)\) (do AEDF là hình thoi).

kẻ đường BH vuông góc xuống AC 

ta có bah=60 tính đc HA,BH

theo tính chất đường phân giác ta có AB/AC=BD/DC=1/2  NÊN DC/BC=2/3

KẺ DK vuông góc với AC ta tính được DK và HK theo các tgiac đồng dạng

ta lại tính đc AK=HK-AH

biết DK và AK áp dụng pitago tìm đc ad

ĐS:2 

Bài 5: 

a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\cot\widehat{C}\)

\(=21\cdot\cot40^0\)

\(\simeq25,03\left(cm\right)\)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+25,03^2=1067,5009\)

hay \(BC\simeq32,67\left(cm\right)\)