cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên a, b là các số nguyên
a. CMR f(a)-f(b) chia hết cho a-b
b.Cố thể xảy ra đồng thời f(5)=7 và f(19)=15 ko
cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên a, b là các số nguyên
a. CMR f(a)-f(b) chia hết cho a-b
b.Cố thể xảy ra đồng thời f(5)=7 và f(19)=15 không?
TK: Toán 8 - đa thức, chia hết | Cộng đồng Học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum
Lời giải:
Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ với $a_i\in\mathbb{Z}$ khi $i=\overline{0,n}$
$f(a)-f(b)=(a_0+a_1.a+a_2a^2+...+a_na^n)-(a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n)$
$=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)$
b. Theo kq phần a thì $f(19)-f(5)\vdots (19-5)\vdots 7$
Mà $f(5)\vdots 7$ nên $f(19)\vdots 7$ hay $15\vdots 7$ (vô lý)
Do đó không thể xảy ra đồng thời hệ thức trên.
Vì $a^i-b^i$ với mọi $i=1,2,..,n$ đều chia hết cho $a-b$ theo phân tích trong hằng đẳng thức đáng nhớ
$\Rightarrow f(a)-f(b)\vdots a-b$
b.
Cho f(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên a, b là 2 số nguyên .
a,Chứng minh rằng f(a)-f(b) chia hết cho a-b
b, Có thể xảy ra đồng thời f(5)=7 và f(9)=15 hay không
a) Đặt f(x)=c_1.x^n + c_2.x^(n - 1) + ... + c_(n - 1).x^2 + c_n.x
Ta có:
a^n − b^n
= (a−b).(a^(n−1) + a^(n−2).b + ... + b^(n−1))
⇒f(a) − f(b) = (a − b).P(a, b) với P(a, b) là 1 đa thức chứa a, b với hệ số nguyên
Suy ra f(a) - f(b) chia hết cho (a - b)
Cho f(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên a, b là 2 số nguyên khác 0 , a,Chứng minh rằng f(a)-f(b) chia hết cho a-b
b, Có thể xảy ra đồng thời f(5)=7 và f(9)=15 hay không
Cho đa thức F(x) = ax^3+2bx^2+3cx+4d
với các hệ số a,b,c là các số nguyên. chứng minh rằng ko thể đồng thời tồn tại f(7)= 73 và f(3)=58
Ta có : \(f(7)=a\cdot7^3+2\cdot b\cdot7^2+3\cdot c\cdot7+4d=343a+98b+21c+4d\)
Lại có : \(f(3)=a\cdot3^3+2\cdot b\cdot3^2+3\cdot c\cdot3+4d=27a+18b+9c+4d\)
Giả sử phản chứng nếu \(f(7)\)và \(f(3)\)đồng thời bằng 73 và 58 suy ra là :
\(f(7)-f(3)=(343a-27a)+(98b-18b)+(21c-9c)+(4d-4d)=73-58=15\)
\(\Rightarrow f(7)-f(3)=316a+90b+12c=15\)
Mà ta thấy các đơn thức chỉ có dạng chung duy nhất là 2k
\(f(7)-f(3)=2k=15\)
Mà 15 ko chia hết cho 2 , suy ra giả sử sai
=> đpcm
a) Cho đa thức f(x) thỏa mã đkiện
x.f.(x+1)=(x+2).f(x)
CMR : Đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm
b) CMR : Nếu gtrị của bthức f(x)=ax^2+ bx +c chia hết cho 2007 với mọi x nguyên ( a,b là các số nguyên ) thì các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2007
a) Ta có:\(x.f\left(x+1\right)=\left(x+2\right).f\left(x\right)\)
+)Thay \(x=0\) ta có:\(2.f\left(0\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(0\right)=0\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=0 (1)
+)Thay \(x=-2\) ta có:\(-2.f\left(-1\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(-1\right)=0\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=-1 (2)
Từ (1),(2)
\(\implies\) đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất hai nghiệm
b)Ta có:\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
+)Với x=0 \(\implies\) \(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c:2007\left(1\right)\)
+)Với x=1 \(\implies\) \(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c:2007\left(2\right)\)
+)Với x=-1 \(\implies\) \(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2-b.1+c=a-b+c:2007\left(3\right)\)
Từ (2);(3) cộng vế với vế ta được:
\(\implies\) \(f\left(1\right)+f\left(-1\right)=a+b+c+a-b+c\)
\(=2a+2c\)
\(=2.\left(a+c\right):2007\)
mà \(\left(2,2007\right)=1\)\(\implies\) \(a+c:2007\) \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(4\right)\) \(\implies\) \(a:2007\) \(\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right),\left(2\right)\) \(\implies\) \(b:2007\) \(\left(6\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(5\right),\left(6\right)\) \(\implies\) các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2007\(\left(đpcm\right)\)
Cho f(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên a, b là 2 số nguyên khác 0 , nguyên tố cùng nhau.Chứng minh rằng :Nếu f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a thì f(a+b) chia hết cho ab.
Cho đa thức F(x)=\(ax^2+bx+c\) với a ,b ,c là các số nguyên . Chứng tỏ rằng không thể xảy ra đồng thời f(2012)=2013 và f(2014)=2014 với mọi số nguyên a, b, c.
\(f\left(2012\right)=2012^2a+2012b+c=2013\Rightarrow c\text{ lẻ.}\)
\(f\left(2014\right)=2014^2a+2014b+c=2014\Rightarrow c\text{ chẵn.}\)
2 điều trên mâu thuẫn nên ta có đpcm.
cho đa thức f(x)=\(ax^3+bx^2+cx+d\) với các hệ số a , b , c , d là các số nguyên
Chứng minh rằng không thể đồng thời tồn tại f(7)=53 và f(3)=35
Với đa thức hệ số nguyên, xét 2 số nguyên m, n bất kì, ta có:
\(f\left(m\right)-f\left(n\right)=am^3+bm^2+cm+d-an^3-bn^2-cn-d\)
\(=a\left(m^3-n^3\right)+b\left(m^2-n^2\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=a\left(m-n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m-n\right)\left(m+n\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=\left(m-n\right)\left[a\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m+n\right)+c\right]⋮\left(m-n\right)\)
\(\Rightarrow f\left(m\right)-f\left(n\right)⋮m-n\) với mọi m, n nguyên
Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
Theo cmt, ta phải có: \(f\left(7\right)-f\left(3\right)⋮7-3\Leftrightarrow53-35⋮4\Rightarrow18⋮4\) (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai hay không thể đồng thời tồn tại \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
Cho đa thức f|(x)=ax2-bx+c với a,b,c là các số nguyên và a khac 0 sao cho f(9) chia hết cho 5 và f(5) chia hết cho 9. CMR: f(104) chia hết cho 45
Áp dụng công thức: (m – n). ( m+ n) = m2 – n2 => m2 – n2 chia hết (m – n)
Ta có : f(x)=ax2- bx + c
=> Tính chất: f (m) – f(n) chia hết ( m – n)
Ta có:
f(104) – f(9) chia hết 105
=> f(104) – f(9) chia hết 5
=> f(104) chia hết 5
Mặt khác:
f(104) – f(5) chia hết 99
=> f(104) – f(5) chia hết 9
=> f(104) chia hết 9
Vậy f(104) chia hết (5.9) = 45