Question

cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên a, b là các số nguyên

a. CMR f(a)-f(b) chia hết cho a-b

b.Cố thể xảy ra đồng thời f(5)=7 và f(19)=15 không?

Answer 1

TK: Toán 8 - đa thức, chia hết | Cộng đồng Học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum

Answer 2

Lời giải:

Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ với $a_i\in\mathbb{Z}$ khi $i=\overline{0,n}$

$f(a)-f(b)=(a_0+a_1.a+a_2a^2+...+a_na^n)-(a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n)$

$=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)$

b. Theo kq phần a thì $f(19)-f(5)\vdots (19-5)\vdots 7$

Mà $f(5)\vdots 7$ nên $f(19)\vdots 7$ hay $15\vdots 7$ (vô lý)

Do đó không thể xảy ra đồng thời hệ thức trên.

Vì $a^i-b^i$ với mọi $i=1,2,..,n$ đều chia hết cho $a-b$ theo phân tích trong hằng đẳng thức đáng nhớ

$\Rightarrow f(a)-f(b)\vdots a-b$

b.