a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.4⋮25.4=100\)

b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^3-n⋮6\)

a,25^n.24

mà 25^n :5

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n.\left(25-1\right)\)

\(=25^n.24=25^n.4.6\)

\(=\left(25^n.4\right).6⋮100\) ( do \(25^n.4⋮100\forall n\inℕ^∗\) )

b) \(n^2.\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right).\left(n^2-2n\right)\)

\(=\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)\)

Ba số trên là ba số liên tiếp

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮2\\\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮6\)

hay : \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)

Đến đây tương tự câu b) thì ta có đpcm.

$A=n\left[n^2{\left(n^2-7\right)}^2-36\right]=n\left[{\left(n^3-7n\right)}^2-36\right]$

$=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)$

$=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)$

$\Rightarrow A$ là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7

dê

A = [ n³(n²-7)²-36n ] ⋮ 7 với ∀n ϵ Z

bài này có lấn sang 7 hàng đẳng thức lớp 8 :))

\(m.n.\left(m^2-1-n^2+1\right)\)

\(=m.n.\left[\left(m-1\right).\left(m+1\right)-\left(n-1\right).\left(n+1\right)\right]\)

\(=m.n.\left(m-1\right).\left(m+1\right)-m.n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)

vì m,m-1,m+1 và n,n-1,n+1 là tích của 3 số liên tiếp => \(m.n.\left(m-1\right).\left(m+1\right)⋮3,m.n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮3\)

=> \(m.n.\left(m-1\right).\left(m+1\right)-m.n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮3\)

hay \(m.n.\left(m^2-n^2\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

eei cho sửa cái đoạn dòng thứ 4 nha

vì m.(m+1).(m-1) và n.(n+1).(n-1)  là tích của 3 số liên tiếp 

=> m.(m+1).(m-1) chia hết cho 3

và n.(n+1).(n-1)  chia hết cho 3

=> ... như lúc này

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Do biểu thức trên là tích của 3 số liên tiếp nên tồn tại trong các thừa số: 1 thừa số \(⋮\text{ }2\) và 1 thừa số \(⋮\text{ }3\)

Mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow n^3-n⋮2\cdot3=6\)

\(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^2+y^2=a^2+b^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^2-a^2=b^2-y^2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-a=b-y\\\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(y-b\right)\left(y+b\right)\end{cases}}\) (1)

Nếu \(x=a;y=b\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)

Nếu \(x\ne a;x\ne b\) Từ \(\left(1\right)\Rightarrow x+a=-y-b\Rightarrow x+y=-a-b\)

Mà \(x+y=a+b\Rightarrow-a-b=a+b\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\x=-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n=0\)

a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.