các bạn có thể lấy giúp mình mỗi bất đẳng thức lấy mình 4 bài chứng minh bất đẳng thức có sử dụng các bất đẳng thức sau đay
\(x^3\)+ \(^{y^3}\)\(\ge\)\(xy(x+y)\)
\(\frac{a^3+b^3}{2}\)\(\ge\)\((\frac{a+b}{2})^3\)
Chứng mình bất đẳng thức
1/\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge\frac{x}{y+z}\)
2/\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Mình mới làm quen với bất đẳng thức, các bạn giải chi tiết hộ mình nha. À mà giải theo Cauchy ý nha !
2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này
ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
cách 2
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
cho bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên tìn giá trị nhỏ nhất của\(M=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\)
với x,y dương và x+y=1
Dùng bất đẳng thức Schwarz chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà theo Cô-si ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
=> a = (y + z - x) / 2 ; b = (x + z - y) / 2 ; c = (x + y - z) / 2
=> P = a/b+c + b/c+a + c/a+b = (y + z - x) / 2x + (x + z - y) / 2y + (x + y - z) / 2z
= 1/2. (y/x + z/x - 1 + x/y + z/y - 1 + x/z + y/z - 1) = 1/2. (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y - 3)
Áp dụng BĐT A/B + B/A ≥ 0 hoặc Cô-si cũng được
=> P ≥ 1/2. (2 + 2 + 2 - 3) = 3/2 (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> b+c = c+a = a+b <=> a = b = c
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn xy ≥ 1 và z ≥1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3\left(xy+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Dùng bất đẳng thức Schwarz chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta c/m BĐT phụ: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)( b tự c/m nhé. Chuyển vế, c/m VP>=0 là xong )
\(\Rightarrow\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
đpcm
\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3.\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3.\left(ab+bc+ca\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( BĐT luôn đúng)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\)
đpcm
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(x^2\:+\:\frac{y^2}{16}\:\ge\frac{1}{2}xy\)
b) \(\left(m\:+\:4\right)^2\:\ge16m\)
Chứng minh với mọi x, y \(\in R\), bất đẳng thức sau luôn đúng:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
\(\frac{abc}{a^3+c^3+b^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
giúp mình nha,mình cần gấp,cảm ơn các bạn.
dùng bất đẳng thức chebyshev được không ạ?
Bạn ơi đề bài có điều kiện a, b, c không vậy. Hay là a, b, c bất kì?
Với a, b, c >0
\(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\) (1)
<=> \(1-\left(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\right)\le1-\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\right)\ge0\)(2)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)
Với a,b, c>0
(1) <=> \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3+2c^3-ab^2-ac^2-ba^2-bc^2-ca^2-cb^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+a^2\left(a-c\right)+b^2\left(b-a\right)+b^2\left(b-c\right)+c^2\left(c-a\right)+c^2\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2\ge0\)Luôn đúng với mọi a, b, c dương
Vậy (1) đúng
"=" xảy ra <=> a=b=c
Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
c) \(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}\)
e) \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
f) \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)