Đặt `A=2x^2+2xy+5y^2-8x-22y`

`<=>2A=4x^2+4xy+10y^2-16x-44y`

`<=>2A=4x^2+4xy+y^2-8(2x+y)+9y^2-28y`

`<=>2A=(2x+y)^2-8(2x+y)+16+9y^2-28y+196/9-196/9`

`<=>2A=(2x+y-4)^2+(3y-14/3)^2-196/9>=-196/9`

`<=>A>=-98/9`

Dấu "=" xảy ra khi `y=14/9,x=(4-y)/2=11/9`

\(F=2x^2+2xy+5y^2-8x-22y\)

<=> \(2F=4x^2+4xy+10y^2-16x-44\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2-16x+16-8y\right)+9y^2-36y-16\)

\(=\left(2x+y-4\right)^2+\left(3y-6\right)^2-52\ge-52\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x+y-4=0\\3y-6=0\end{cases}}\Leftrightarrow y=2;x=1\)

=> min 2F = -52

=> min F = -26. 

Đặt A bằng biểu thức trên.

Ta có: A = 2x² + x(2y - 8) + (5y² - 22y + 1)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x\left(y-4\right)+\left(5y^2-22y+1-A\right)=0\)

+) Nếu x = 0: Khi đó \(A=5y^2-22y+1=5\left(y-\frac{11}{5}\right)^2-\frac{116}{5}\ge-\frac{116}{5}\).

+) Nếu x \(\ne\) 0: Xét pt bậc 2 đối với x. Để pt có nghiệm thì:

\(\Delta'=(y-4)^2-2(5y^2-22y+1-A)\geq0\)

\(\Leftrightarrow2A\geq9y^2-36y-14=(3y-6)^2-50\geq-50\).

\(\Leftrightarrow A\ge-25\)

So sánh 2 TH, ta được min A = \(=-25\) khi và chỉ khi \(x=1;y=2\).

\(2N=4x^2+4xy+10y^2-16x-44y+4038\)

\(=4x^2+4x\left(y-4\right)+\left(y-4\right)^2-\left(y-4\right)^2+10y^2-44y+4038\)

\(=\left(2x+y-4\right)^2+9y^2-36y^2+36+3986\)

\(=\left(2x+y-4\right)^2+\left(3y-6\right)^2+3986\ge3986\forall x,y\)

\(\Rightarrow N\ge1993\forall x,y\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+y-4\right)^2=0\\\left(3y-6\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)