Question

TÌM GTNN: \(2X^2+2XY+5Y^2-8X-22Y+1\)

Answer 1

Đặt A bằng biểu thức trên.

Ta có: A = 2x² + x(2y - 8) + (5y² - 22y + 1)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x\left(y-4\right)+\left(5y^2-22y+1-A\right)=0\)

+) Nếu x = 0: Khi đó \(A=5y^2-22y+1=5\left(y-\frac{11}{5}\right)^2-\frac{116}{5}\ge-\frac{116}{5}\).

+) Nếu x \(\ne\) 0: Xét pt bậc 2 đối với x. Để pt có nghiệm thì:

\(\Delta'=(y-4)^2-2(5y^2-22y+1-A)\geq0\)

\(\Leftrightarrow2A\geq9y^2-36y-14=(3y-6)^2-50\geq-50\).

\(\Leftrightarrow A\ge-25\)

So sánh 2 TH, ta được min A = \(=-25\) khi và chỉ khi \(x=1;y=2\).